这都可以？阿贝尔群(阿贝尔群的定义)

在前面的5个章节里，系统地讲述了对称性、群论、同位旋等与杨-米尔斯理论诞生所需要具备的要素，这一章节将讲述非阿贝尔群、规范玻色子与杨-米尔斯理论

 

在前面的5个章节里，系统地讲述了对称性、群论、同位旋等与杨-米尔斯理论诞生所需要具备的要素，这一章节将讲述非阿贝尔群、规范玻色子与杨-米尔斯理论之间的关系由于杨-米尔斯理论所涉及的范围太广，必须多用一些篇幅才能通俗地说明白，所以只能分成多个章节系统的来写，不过你放心，不会有让人头疼的公式。

正文开始非阿贝尔群这名字听着高大上，其实还是很好理解的在前面的章节有说过，杨-米尔斯理论又叫非阿贝尔规范场论，这个阿贝尔指的是阿贝尔群（以挪威的天才数学家阿贝尔命名），它又叫交换群，通俗的讲就是这个群里的运算是满足交换律的。

这样说是不是感觉有点绕，别慌，举个简单的例子你就明白了所有人都知道加减乘除，这加法就满足交换律，最简单的3+5=5+3，不论你加数的顺序怎么交换，最后的结果都不会变于是，我们就可以说整数和整数的加法构成了一个整数加法群，这个群的运算是满足交换律的，所以这个整数加法群就是阿贝尔群。

超凡脱俗的阿贝尔群是不是一下子就坠入了凡间既然理解了什么是阿贝尔群，那么非阿贝尔群自然就好理解了，它指的就是群的运算不满足交换律的群那么，不满足交换律的运算有没有呢？肯定是有的，最容易理解的就是矩阵的乘法。

稍微有点线性代数基础的人都知道：两个矩阵相乘，交换两个矩阵的位置之后得到的结果是不一样的而矩阵这种东西在数学、物理学里是非常基础的东西，比如你对一个物体进行旋转操作，最后都可以转化为物体跟一个旋转矩阵的运算，这样看，是不是觉得非阿贝尔瞬间可爱多了。

如果还是觉得不够可爱，可以看一下下面的例子。下面举一个例子让大家感受一下这种不可交换的次序，也就是非阿贝尔的感觉。

上面的图里有一个新兵，他现在要执行两个操作：一个是顺时针旋转90°，要从上往下看；一个是向右倒，其实就是顺时针旋转90°从外往里看上面的a图是先旋转再右倒，而下面的b图则是先右倒再旋转是不是可以清楚的看到，最后这两个人的状态是完全不一样的（一个左侧对着你，一个头对着你）。

他们的状态不一样说明什么呢？说明这两个旋转操作如果改变先后次序的话，得到的结果是不一样的，而这两个旋转操作都可以通过跟两个矩阵相乘得到，这就说明矩阵的乘法是不能随意交换顺序的如果上面都不理解也没关系，你只要记住，非阿贝尔群就是：位置不能随便换，一换就出问题。

当有了这些概念时，我们再来看看非阿贝尔群和杨-米尔斯理论的关系说起杨-米尔斯理论，杨 我们自然知道是杨振林，而米尔斯呢？米尔斯全名罗伯特·劳伦斯·米尔斯，1927年出生，1999年去世，说起来他应该算是杨振宁的学生或者助手，这一点在杨振宁的传记中可以看得很清楚。

但杨振宁却几乎从来没有在公众场合提起过这个事情，以至于世人们都认为两人是合作关系回到正题在前面的章节有详述过，当外尔把U（1）群的整体规范对称性推广到了局域时，通过这节的讲解，我们知道，U（1）群（1×1矩阵）是阿贝尔群。

以此照推，当杨振宁试图把SU（2）群的整体规范对称也推广到局域时，但因为SU（2）群（2×2矩阵）是非阿贝尔群，这就有点困难了但只要明确了目标就好办，有困难要上，没困难制造困难也要上功夫不负有心人

通过10几年的努力，到了1954年，他和米尔斯（当时和杨振宁先生在同一间办公室，是克劳尔教授的博士研究生）一起写出了划时代的论文：《同位旋守恒和同位旋规范不变性》和《同位旋守恒和一个推广的规范不变性》这两篇论文正式宣告了杨-米尔斯理论的诞生，杨振宁先生终于把局域规范对称的思想，从阿贝尔群推广到了非阿贝尔群，从而使得这种精妙的规范对称，可以在电磁理论之外的天地大展拳脚（阿贝尔群的电磁理论成了它的一个特例）。

杨振宁先生所一直坚持的“对称决定相互作用”也有了落脚之地为了区别起见，我们把外尔的那一套理论称为阿贝尔规范场论，把杨振宁和米尔斯提出来的理论称为非阿贝尔规范场论，或者直接叫杨-米尔斯理论就像前面所说的，杨-米尔斯理论提供了一个精确的数学框架。

在这个框架里，只要选择了某种对称性，好比对应数学上的一个 群，或者说只要确定了某个 群，后面的相互作用几乎就被完全确定了，它的规范玻色子的数目也完全被确定了就好比盖尔曼结合强力的各种具体情况，套上杨-米尔斯理论 的框架后，得到了量子色动力学（QCD）。

而弱力和电磁力的统一也是一样的，格拉肖、温伯格和萨拉姆等人，也是在套上了 杨-米尔斯理论 的框架之后，才将弱力和电磁力统一为电弱力在杨-米尔斯理论这个框架下诞生过好几十个诺贝尔奖，这也是杨振宁在物理界的江湖地位如此之高的原因，毕竟喝水不忘挖井人嘛。

同时，这也是为什么后来大家能够直接从强力和弱电理论里，预言到那么多还未被发现的粒子的原因事情还没有完，在杨-米尔斯理论里，还有一种传递相互作用的粒子，叫规范玻色子，这也是一种很重要的粒子在下一章节，将会重点讲述规范玻色子与杨-米尔斯理论之间的关系。