层次分析法案例(层次分析法案例分析)

让我们来看一个案例分析吧！！！

 

看完上次层次分析法的简要介绍之后，同学们是否对层次分析法已经有了初步了解了呢（没看多的同学可以去看往期推文：（【数模部干货】第十五期）那么今天就让我们一起通过一个案例分析来深入学习一下层次分析法吧！

案例：物流公司买设备的问题题目如下：某物流企业需要采购一台设备，在采购设备时需要从功能、价格与可维护性三个角度进行评价，考虑应用层次分析法对3个不同品牌的设备进行综合分析评价和排序，从中选出能实现物流规划总目标的最优设备，其层次结构如下图所示。

以A表示系统的总目标，判断层中B1表示功能，B2表示价格，B3表示可维护性。C1，C2，C3表示备选的3种品牌的设备。

题目解析：面对这种评价类的问题，层次分析法就是一个相当不错的解题方法还记得层次分析法的几个步骤吗？1、建立层次结构2、构造判断矩阵3、计算特征向量并做一致性检验4、计算组合权向量并做组合一致性检验5、计算总权重

是不是觉得对步骤具体要干什么有些小小的疑惑？不用担心，在此次问题中，我们在进行每一个步骤之前，都会通过例题具体介绍一下每个步骤的来源与功用，再进行解题，就不会担心看不懂啦解题过程Part1建立层次结构所谓建立层次结构，就是明确目标——判断——方案三个层次，每个层次有若干个元素，并用箭头来描述相互之间的关系，用图表的方式展现出来，一目了然，以辅助我们做最后的决策。

如上就是我们的层次结构啦：●我们的目标是购买一个新设备，这构成目标层；●为了达成这个目标我们自然需要考虑和比较手上若干个设备的好坏，而评判一个设备的好坏我们需要考虑三个因素：功能优劣，价格高低，维护性好坏

，这是我们判断一个设备好坏的依据，构成判断层；●购买此设备我们有三个选择（即方案），构成方案层目标层与判断层之间的箭头表示购买每一个设备，我们都需要考虑这三个因素；而判断层和目标层之间的箭头则表示对每一个方案我们均需比较这三个因素。

Part2构造判断矩阵所谓判断矩阵，就是我们对两个因素进行两两比较的一个工具，而我们从第一步可以看到，我们需要做四个判断：1、比较判断层三个因素的重要性 2、在功能这个因素下比较三个产品的优劣 3、在价格这个因素下比较三个产品的优劣 4、在维护性这个因素下比较三个产品的优劣。

而我们要判断与比较两个因素之间的重要性差异，最直接的就是用比值来呈现为此我们可以引入标度这个概念1.标度及描述我们定性区分事物的能力习惯用5个属性来表示，就是同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，当需要较高精度时，可以取两个相邻属性之间的值，这样就得到9个数值，即9个标度。

为了便于将比较判断定量化，引入1～9比率标度方法，规定用1、3、5、7、9分别表示根据经验判断，要素i与要素j相比：同样重要、稍微重要、较强重要、强烈重要、绝对重要，而2、4、6、8表示上述两判断级之间的折衷值。

  显然，比值越大，则要素i的重要度就越高。比如说i1/j为9，i2/j为8，自然i1比i2相对于j来说更重要。

那么我们接下来就可以来构建判断矩阵啦！2.构建判断矩阵A●判断矩阵A-B(即相对于物流系统总目标，功能B1，价格B2，维护性B3相对重要性比较)如表1所示：

●判断矩阵B1-C(相对功能，各方案的相对重要性比较)如表2所示：

●判断矩阵(相对B2-C价格，各方案的相对重要性比较)如表3所示：

●判断矩阵B3-C(相对可维护性，各方案的相对重要性比较)如表4所示：

Part3计算各判断矩阵的特征值、特征向量及一致性检验指标所谓特征值，特征向量，它背后的数学原理较为复杂，我们就不在本文进行详细讨论了，我们只需知道我们利用以下公式和方法可以求出最大特征值和特征向量，而我们利用最大特征值和向量，可以进行一致性检验

，而什么是一致性检验，又为何要做呢，我们将在下一个部分进行讲解，在这个部分，我们则介绍求最大特征值和特征向量的公式和方法，基本步骤如下：(1)将判断矩阵A按列归一化（即使列元素之和为1）：bij= aij /Σaij；

(2)将归一化的矩阵按行求和：ci=Σbij （i=1，2，3….n）；(3)将ci归一化：得到特征向量W=（w1，w2，…wn ）T，wi=ci /Σci ，W即为A的特征向量的近似值；(4)求特征向量W对应的最大特征值。

注：对于归一法如何使用我们在上一篇推送已经用图进行说明啦，有些遗忘的朋友可以再回顾一下~具体步骤如下：(1)判断矩阵A-B的特征根、特征向量与一致性检验①计算矩阵A-B的特征向量：我们用上述方法进行计算，可以得到

W1=0.230，类似地有W2=0.684，W3=0.122，所求得的特征向量即为：W=[0.230,0.648,0.122]T②计算矩阵A-B的特征根:AW1=0.69，类似地可以得到AW2=1.948,AW

3=0.3666按照公式计算判断矩阵最大特征：3.004③一致性检验：实际评价中我们在构建判断矩阵时是会有一些误差的，这样有时会犯不一致的错误如，已判断C1比C2重要，C2比C3较重要，那么，C1应该比C。

3更重要如果又判断C1比C3较重要或同等重要，这就犯了逻辑错误这就需要我们进行一致性检验   为此我们需要计算CI和CR，它们有一个计算公式，只与最大特征值和特征向量有关，即我们上一步的计算结果我们用这两个值进行检验一致性，一般认为CI<0.1、 CR<0.1时，判断矩阵的一致性可以接受，否则重新构建判断矩阵。

计算

，查同阶平均随机一致性指标（表5所示）知RI=0.58

(2)判断矩阵

的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵

的特征根、特征向量与一致性检验如下：

(3)判断矩阵

的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵

的特征根、特征向量与一致性检验如下：

(4)判断矩阵

的特征根、特征向量与一致性检验类似于第(1)步的计算过程，可以得到矩阵

的特征根、特征向量与一致性检验如下：

结论：由上可知，我们的所有判断矩阵均通过了一致性检验，接下来我们可以通过这些矩阵以及对应的特征向量进行决策Part4层次总排序在这一步，我们将利用特征向量计算出各个方案的总排序权重，即假定三个方案重要性百分比和为1，算出各个方案的重要性的占比，通过这个我们可以对三个方案的重要性进行排序，从而选出最优的方案。

    获得同一层次各要素之间的相对重要度后，就可以自上而下地计算各级要素对总体的综合重要度设二级共有m个要素c1, c2,…,cm，它们对总值的重要度为w1, w2,…, wm；她的下一层次三级有p1, p2,…,pn共n个要素，令要素pi对cj的重要度（权重）为vij，则三级要素pi的综合重要度为：。

方案C1的重要度（权重）=0.426方案C2的重要度（权重）=0.283方案C3的重要度（权重）=0.291依据各方案综合重要度的大小，可对方案进行排序、决策。层次总排序如表6所示：

Part5结论由表5可以看出，3种品牌设备的优劣顺序为：C1，C2，C3且品牌1明显优于其他两种品牌的设备复习回顾复习一下吧！！！首先当遇见评价类问题或是选择性问题时，就可以想到是否使用层次分析法 And then

1. 将问题相关的各个因素按不同属性分解成多个不相交的层次构建出层次结构模型2. 从层次结构模型中第二层开始，利用相对尺度将数据元素进行两两对比，从而得到对比矩阵3. 计算权向量并做一致性检验，判断特征向量是否为权向量，若否，则重新构建对比矩阵。

4. 计算组合权向量，并做组合一致性检验，若通过即可据此进行决策。5. 通过加权平均或向量的加权平均，计算目标的总权重，继而得出结论。最后欢迎大家关注华工MEA官方账号哟(≧▽≦)

—— E N D ——推送排版：田宽内容整理:郑懿   陈俊飞   刘誉庆长按关注