jensen不等式(jensen不等式的积分形式证明)

不等式01：浅谈均值不等式、Cauchy不等式、Jensen不等式、Hôlder不等式、Minkowski不等式和范数不等式

这一篇文章是任务导向性的文章，来源于数学分析II的作业：

老师的要求是可以查阅资料，只要完成了即可而这个不等式的证明实际上是非常简单的，我们对一些简单的基本的不等式进行梳理，就可以完成这个题目为了本篇文章书写方便，我们先给出一个定义：定义1.范数为一线性空间，泛函满足：。

（1）正定性：，且取等当且仅当（2）正齐次性：（3）三角不等式：则称为范数定义2.p-范数在赋范度量空间中，我们定义p-范数为：则我们求一个特殊情形：定理1.（离散）均值不等式均为非负整数，则有：取等条件为。

定理1的证明.向前——向后数学归纳法命题对显然成立，假定命题对成立，则对时，有：则命题对成立对某个，取，则定理3成立证毕！定理2.（离散）Cauchy不等式实数，有不等式：取等条件为用范数写这个定理，就是，其中。

定理2的证明.由Lagrange恒等式，有：定理3.（连续）Cauchy不等式实函数，有不等式取等于与线性相关定理3的证明.构造函数，则有恒成立，其判别式整理即得上式推论1.（离散）T2引理已知实数及正实数，则有：。

取等于推论1的证明是显然的定理4.Jensen不等式若为上的下（上）凸函数，则，，有：在这篇文章中我们就不进行证明了，我们以后会写凸分析的专题引理1.（离散）Young不等式0,\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1" data-formula-type="inline-equation" style="">。

，则有：取等于引理1的证明.由为下凸的，则由下凸函数的定义，有：定理5.（离散）Hôlder不等式已知，且正数，满足，则有：用范数写这个定理，就是定理5的证明.等价于证明：由Young不等式得：对求和，即得结论。

定理6.（离散）Minkowski不等式设，则有：当时，不等式反号在我们证明Minkowski不等式之前，我们先点明一件事情，就是我们的这个条件的重要性在上面求范数的过程中，我们实际上是有限制的，这也就是来自Minkowski不等式的支撑。

下面我们的证明是基于的，对于$0

当然在时也可以这样形式地表示，其中不等号反号定理6的证明.定理7.（离散）范数不等式我们上面研究了范数，我们给出一个不等式，是对范数进行刻画的这个不等式特别地也是在形式上成立的，且 s > 0" data-formula-type="inline-equation" style="">。

，则有：用范数写，也就是定理7的证明.由齐次性，不妨设，则，则有：，则，则我们在考虑了离散情形之后，自然要考虑连续情形：定理8.（连续）Hôlder不等式已知实函数，正数，则有：定理8的证明.由Young不等式，得：。

对上式从到积分，得此即所求式。定理9.（连续）Minkowski不等式已知实函数和实数，则有：定理9的证明思路和定理6完全一致，用到定理8。那么我们回到我们本次的问题：

这个问题怎么解决的呢？当时，命题已证明。当1" data-formula-type="inline-equation" style="">时，取，使得，则有：