居然可以这样整数(整数集包括什么)

令 , 其中 , 则称 为复整数集或 Gauss 整数集 , 而复整数集 可以理解为复平面上的网格点集 ,类似于整数集 中定义的运算 , 不难验证在 中可以进行加减乘除运算 . 本文

 

令 , 其中 , 则称 为复整数集或 Gauss 整数集 , 而复整数集 可以理解为复平面上的网格点集 ,类似于整数集 中定义的运算 , 不难验证在 中可以进行加减乘除运算 . 本文我们同样会像之前对整数集那样 , 证明复整数集 中的唯一分解定理 , 事实上复整数集是更为广泛的代数整数环的一个特例 , 而代数整数环是代数数论的研究对象 .

为了继续讨论 , 我们首先来定义复整数集中的范数 .定义1：一个复整数 的范数 定义为 .根据上面的定义 , 我们可以知道 是复平面上从原点 到点 的距离的平方 .同样类似于整数集 , 在复数集 也有 Euclid 算法 , 故有下面的定理 .

定理1( Euclid 算法)：设 为 中任意不为零的元素 , 而 为 中的任意元素 , 则一定存在 使得 .证明：(i)几何证法 . 令 , 由于 是任意不为零的元素 , 故 为下图所示的网格点集 .

则 必然在某网格中且组成网格的正方形的边长为 , 故一定存在某网格点 与 的距离小于 , 即有 , 只要令 即证明了这个定理 . 但需要注意的是 可能有四组不同的值 , 即 不是唯一的 .

(ii) 代数证法 . 如果我们不借助图形 , 那么就需要把上面的几何证法代数化 , 故考虑然后我们就可以直接求出 , 不妨设 为最接近 的整数 , 为最接近 的整数 , 即 0" data-formula-type="inline-equation" style="">

, 有 和 , 故进而得到由于 的任意性 , 只需令 即可 .关于复整数的范数则有下面的性质 , 且看下面的定理 .定理2： .证明：直接计算可以得到在整数集 中仅有 和 为乘法的逆元 , 即 和 也是整数 , 下面的定理则给出了复整数集 的乘法逆元 .

定理3：一个复整数 有乘法逆元 , 即存在复整数 使得 的充要条件是 , 于是这样的复数必为 或 .证明：(i) 充分性 . 显然有 , 即 有逆元 .(ii) 必要性 . 根据定理2可知 , 有

而 和 为非负整数 , 故得到 .我们之前在整数集定义过因数和倍数 , 故接下来我们来定义复整数集 中的因数和倍数 .定义2：设 , 如果 , 则称 为 的倍数 , 为 的因数 , 记作 . 如果 , , , , 这里 均为复整数 , 则称 是 的公因数 , 如果 是 的任意公因数 的倍数 , 则称 是 的最大公因数 . 如果 , , , , 这里 均为复整数 , 则称 是 的公倍数 , 如果 是 的任意公倍数 的因数 , 则称 是 的最小公倍数 .

既然在复整数集 中定义了因数和倍数 , 于是我们有下面的定理 .定理4：设 , 令则有(i) 存在 使得 ;(ii) 如果 且 , 则 是 的一个最大公因数 ;(iii) 如果 , 则 , 其中 为 或 .

证明：(i) 先证明 时的情形 , 即 . 设 使得 中存在最小的范数 , 如若不然则 中的复整数的范数均为零 , 即 , 此时取 , 故只需考虑存在上述 的情形 . 根据 Euclid 算法可知 , 存在 使得 , 显然有 , 故一定有 , 即 , 于是就得到了 和 , 同理可以证得 和 , 因此 , 注意到 , 我们就证明了 . 不难看出 , 最后由归纳假设可知 , 存在 使得 .

(ii) 由于 , 故 , 其中 , 即 是 的公因数 . 设 是 的任意公因数 , 即 , , , . 又由于 , 故 , 其中 和 , 因此 .(iii) 注意到 和 , 其中 , 即得到 , 如果 , 那么 , 此时取 , 如果 , 则有 , 再根据定理3可知 必为 或 .

为了建立复整数集 上的唯一分解定理 , 我们需要引入不可约复整数和复素数的概念 , 由于复整数集上存在较多的可逆数 , 故还需要两个复整数相伴的概念 .定义3：设 为一非零且非可逆的复整数 , 即 和 , 如果 的任意分解式 中必存在 为可逆复整数 , 则称 为一个不可分解的复整数或不可约复整数 . 如果 , 那么必有 或 , 此时称 为一个复素数 . 设 和 为两个复素数 , 如果满足 且 为 或 , 则称 为相伴的复整数 .

根据定义3可知 , 设 和 是相伴的复整数 , 如果 是不可约复整数 , 那么 也是不可约复整数 , 如果 是复素数 , 那么 也是复素数 , 事实上还能得到下面的引理 .引理1：不可约复整数均为复素数 , 反之复素数都是不可约复整数 .

证明：设 为不可约复整数且满足 , 其中 , 根据定理4可知 , 存在 使得 , 然后令 和 , 由于 是不可约复整数 , 故 中必有一个是可逆元 , 如果 是可逆元 , 那么 , 进而 , 即 , 如果 是可逆元 , 注意到 , 那么再令 , 其中 , 于是得到 和 , 事实上 , 进而有 , 因此 是复素数 .

反之设 是复素数且 , 则有 或 , 不妨设 , 即存在 使得 , 故得到 , 由于 , 于是有 , 此时 为可逆元 , 因此 是不可约复数 .现在我们可以来证明复整数集 上的唯一分解定理了 , 故有下面的定理 .

定理5(唯一分解定理)：设 为一非零且非可逆的复整数 , 则有(i) 可以分解为复素数的连续乘积的形式 , 即存在复素数 使得 ;(ii) 设 , 其中 和 均为复素数 , 则重新排列 , 必有 和 是相伴的复整数 , 于是 .

证明：(i) 设 是不可约复整数 , 故令 , 那么有 . 否则对 用归纳假设 , 再令 , 其中 都不是可逆元 , 由于 且 1" data-formula-type="inline-equation" style="">

, 故 和 , 根据归纳假设可知 , 和 都可以分解成复素数的连续乘积形式 , 而 , 因此 也可以分解成复素数的连续乘积形式 .(ii) 由于 , 故 , 于是有 或 , 然后由归纳假设可知 , 一定存在某个 使得 , 重新排列 后不妨令这个 为 , 即 . 设 , 由于 是不可约复整数 , 故 一定是可逆元 , 于是得到 , 两边消去 后有 , 再次根据归纳假设可以得到 和 是相伴的复整数 , 进一步可知 , 和 是相伴的复整数 , 其中 , 自然 和 也是相伴的复整数 .

下面我们要寻找复整数集 中的复素数 , 故有下面的引理 .引理2：设 , 如果 是 中的素数 , 则 是一复素数 , 而如果 是复素数 , 那么 也是复素数 .证明：显然 是不可约复整数 , 设 , 那么 , 因此如果 是可约复整数 , 那么 也是可约复整数 , 再根据引理1我们得到 是复素数 , 那么 也是复素数 .

然后我们讨论 中的素数 在 中的因数分解 .(1) 的复素数分解式为 , 其中 , 故 是复素数 , 这种分解我们称为分歧型 .(2) 如果素数 满足 , 设 是复素数且使得 , 其中 均为复素数 , 此时有 , 于是 或 , 由于 为奇数 , 故 和 必须一个是奇数而另一个是偶数 , 进而得到

上式的 为任意整数 , 事实上 , 于是 , 那么只能有 , 上式左端是两个复素数的乘积 , 且如果 是可约复整数 , 那么右端分解出的素因数的个数至少是 , 因此 一定是复素数且分解式为 , 这种分解我们称为惯性型 .

(3) 如果素数 满足 , 同样设 是复素数且使得 , 其中 均为复素数 , 根据(2)可知 , 一定有 , 故 , 这样的分解我们称为分解型 .根据(3)就能得到下面的定理—— Gauss 定理 .

定理6( Gauss 定理)：如果奇素数 满足 的充要条件是存在整数 使得 .证明：充分性是显然的 , 我们在上面的(2)中已经证明 , 下面我们分三步证明必要性 .(i) 先证明存在 使得 , 根据 Wilson 定理可知有 , 显然我们有 , 其中 , 然后上面的 Wilson 定理的式子变为 , 这里 , 只需令 即得到 .

(ii) 设 在 中是可约复整数 , 即 且满足 1" data-formula-type="inline-equation" style=""> , 1" data-formula-type="inline-equation" style="">

, 则有故必有 .(iii) 接下来就来证明 在 中不可能是不可约复整数 , 考虑 , 其中 满足 以及 , 则有 , 如果 在 中是不可约复整数 , 那么 一定为可逆元或为与 相伴的复整数 .

假设 是可逆元 , 则有 , 其中 , 于是 , 令 和 , 故得到 , 进而有 和 , 然后对上面两个式子对模 取同余就有 和 , 联立上面两个同余式就得到 , 再根据(i)可知有 , 显然就推出了矛盾 , 因此 不是可逆元 .

假设 和 是相伴的复整数 , 即存在一个可逆元 使得 , 但由于 , 故 , 即 , 注意到 , 故只能 , 于是令 , 则有 和 , 这显然是不可能的 , 因此 也不可能是与 相伴的复整数 .

最后我们总结一下 , 以上讨论素数 在 中的分解时区分了三种情形 , 分别为分歧型 , 惯性型和分解型 , 并以此得到了一些复素数和与其相伴的复素数 , 事实上除了上述的复素数以外不存在其它的复素数了 . 我们简单地说明一下 , 令 为任意复素数并取 的素因数 , 如果 , 那么 , 于是 是与 或 相伴的复整数 ; 如果 , 则 为复素数 , 而 , 那么 是与 或 相伴的复整数 , 此时 又是与 或 相伴的复整数 , 因此 必为与 或 相伴的复整数 ; 如果 , 那么设 在 中的分解式为 , 故得到 , 因此 是与 或 相伴的复整数 , 且 是与 或 相伴的复整数 . 从上面的讨论可以得知 , 任意复素数必定和已知的复素数至于是相伴的复整数 .

推荐阅读：[1] Jurgen Neukirch.  Algebraic Number Theory .[2] Serge Lang .  Algebraic Number Theory .

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