不要告诉别人整数(整数集包括什么)

问题：教学《分数的基本性质》，在沟通分数的基本性质和小数的性质、商不变规律之间的关系之后，有学生提出疑问：为

 

问题：教学《分数的基本性质》，在沟通分数的基本性质和小数的性质、商不变规律之间的关系之后，有学生提出疑问：为什么分数和小数都有大小不变的性质？整数有没有这样的基本性质？这个问题我真没想过！听听学生怎么想的。

“商不变规律就是整数的基本性质吧？8÷4=4÷2=2÷1，和分数的基本性质意思一样，都是得数不变！”“不同意！一个分数可以把分母和分子变来变去，分数的大小不变但是整数不行，你把2变成20？200？根本就不对了！”。

双方各持己见，问题暂时搁置分析：商不变的规律、小数的性质和分数的基本性质都是小学数学教材中的内容，目前所有版本的小学数学教材均未出现“整数的基本性质”我初步判定不存在“整数的基本性质”1.追溯“分数的基本性质”的本源。

为什么分数有无数个与之相等的分数？数学知识的性质是从数学概念直接推导得出的运算法则或者运算公式等延伸的知识，数学知识的概念和性质具有紧密的衔接关系不妨回到概念，分数的定义主要有四种——分数的“份数定义”。

小学数学中，分数的定义是“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数”分数的“比定义”把“份数定义”拓展一下，分数可以看作“一部分和另一部分之比”，即两个任意自然数之比分数的“商定义”。

自然数m除以另一个自然数n(n≠0)所得的商，如果能整除，其商为整数；如果不能整除，其商就是分数，记为m/n分数的“形式化定义”形如m/n（m、n都是整数，且n≠0）的数，叫作分数这个定义是从形式上给出描述，不考虑其现实意义，有一个整数对就有唯一的分数和它对应。

分数的几种定义都表明分数的特殊性，它的结构仿佛就是一个关系式分子和分母同乘或同除以一个不为零的数，分数的大小不变，也就是两部分的关系（“率”的关系）不变这种不变的关系使得一个分数具有多种表达形式，分数的基本性质描述的是无限多个形式和意义不同，但大小相等的分数组成的等价集。

2.整数具有3个性质，没有分数那样的基本性质什么是整数？百度百科这样描述：像-2，-1，0，1，2这样的数称为整数，整数是人类能够掌握的最基本的数学工具整数的全体构成整数集，整数集合是一个数环整数分为负整数

（-1、-2、-3……）、0、正整数（1、2、3……），其中非负整数又称为自然数因此，负整数、零与正整数便构成了整数系（也称整数集）整数具有3个性质：性质1：整数集构成一个环，称为整数环性质2：整数是有序集。

性质3：整数是可列集通过对比，不难发现：分数的意义有“量”与“率”两个方面在一个分数（小数）身上可以鲜明地代表两者之间的关系而在自然数领域，一个自然数只有一种表示形式比如2，用来代表物体的个数，它含有2

个一正如一个学生所说，如果把2乘10，变成20，数值的大小就变了也许有人会反驳，2也可以表示2倍的关系没错，但是我们要补充谁是谁的2倍？2倍其实只是一个商，需要被除数和除数的运算才能被成立“乘或除以一个不为零的数”这个变化的过程不是整数。

2发生的变化，而是被除数和除数因此，尽管8÷4=4÷2=2÷1=2，和分数的基本性质很相似，但还是有本质的区别，称之为“整数的基本性质”是不合适的，而命名为“商不变的规律”更准确也许还有人会反驳，根据分数的“形式化定义”，任何整数。

m都可以表示成分数，因而整数也可以看作特殊的分数如果m=0时，分数    =0整数是否也可以从属于特殊的分数，继而具有分数的基本性质，最终是否可以命名为整数的基本性质？我认为，“可以看作”并非“完全一样”，不存在这种传递性。

3. 规律和性质的区别商不变的规律、小数的性质、分数的基本性质，一会儿是规律，一会儿是性质，学生经常叫混了规律和性质有区别数学中的规律，是在千变万化的数学情境、各种数学现象之间必然、本质、稳定和反复出现的关系。

，具有普遍性的形式性质是从数学概念直接推到出的运算法则或运算公式等延伸的知识很有意思的是，关于分数的基本性质，“基本”在哪里？我们国内的教材一直没有说明白，也无从找到依据它是早期从外国翻译过来的说法，沿袭至今。

现在，国外已经淡去这种说法，改称分数的等价、等值，或用相等的分数来表达这一性质张奠宙先生曾经提议我们的教材改称“分数的相等性质”，我完全赞同教学建议：1.关注联系，打通知识之间的暗道教学《分数的基本性质》，教师很容易关联的是“商不变的规律”。

“小数的性质”不容易产生关联，因为文字表述没有相似性其实，小数的性质和分数的基本性质有着内在的一致性，小数的性质是分数的基本性质的特例老师引导学生打通“分数的基本性质”和“小数的性质”之间的暗道，在此基础上，学生提出整数有没有基本性质，说明学生能够自觉运用普遍联系的思想方法，这一点很可贵。

在教学中，教师可以带领学生作进一步的分析，让学生获得一些初步的结论2.尊重差异，真正的学习从迷糊开始采访了多位数学老师，他们一致认为整数没有分数那样的基本性质，但是很难当场作出令自己满意的解释可见，这个问题对大多数学生来说很有难度。

教学中，那些特别有深度的提问往往来自少数学生，其他学生对此很陌生也很难理解对于这类问题的研究，教师不必苛求把“为什么”立刻进行到底，立刻让所有的学生接受问题的答案学习的美妙在于它是一种好奇、一种愤悱、一种挑战、一种曲折，有的学生暂时迷迷糊糊，不能把握问题的本质，又有什么关系呢？真正的学习，是从迷糊开始的，学生在一探究竟的过程中逐渐逼近数学知识的本质。

（南京市长江路小学  丁爱平）