学到了吗正整数是什么(既约的正整数是什么)

法雷数列中既约真分数的个数与欧拉函数，......

 

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每周推送两到三篇内容上有份量的数学文章，但在行文上力争做到深入浅出几分钟便可读完，轻松学数学 我以前讲过法雷数列，而近期总提及欧拉函数，那么，我今天把法雷数列与欧拉函数联系起来一起讲下图给出了一些所谓的法雷数列（部分）。

法雷数列是指由分母不大于正整数n的所有既约真分数按从小到大顺序排列而成的一串数比如n=7时的法雷数列F7就是：1/7，1/6，1/5，1/4，2/7，1/3，2/5，3/7，1/2，4/7，3/5，2/3，5/7，3/4，4/5，5/6，6/7。

共17个数（注意，上图中的每一行中夹在两端分数0/1和1/1之间的那些个分数才是真正的法雷数列）法雷数列中的每个数都是既约真分数，既约是指分子与分母互素，真分数指分子小于分母我们数一数上图所给的几个法雷数列中分数的个数：。

F2：  1F3：  3F4：  5F5：  9F6：  11F7：  17您能看出有什么规律吗？都是奇数，但又不全，比如没有7,13,15真的看不出有什么规则在其中！所以，您若不一个个写出来，似乎也不太容易直接给出F8的个数，更不必说F12了。

于是，欧拉函数粉墨登场了！欧拉函数用来计算小于正整数m（其中m>1）且与m互素的正整数的个数。用φ(m)表示。φ(m)的表达式是：

其中的p1，p2，··· ，pk来自m的标准分解式：

其中p1，p2，···，pk都为素数，且p1

我们以F7为例，研究一下法雷数列中数的个数是如何与欧拉函数联系到一起的F7中，以7为分母的既约分数是：1/7，2/7，3/7，4/7，5/7，6/7共6个为什么呢？因为，7是素数，比7小的正整数1,2,3,4,5,6（共7-1=6个）都与7互素，所以F。

7中以7为分母的既约分数共有6个这正是欧拉函数在m=7时的值：φ(7)=7(1－1/7)=6再来看一看F7中以6为分母的既约分数，它们是：1/6，5/6只有2个为什么？当然很明显，2/6，3/6，4/6都不是既约分数（可以约分为1/3，1/2，2/3，而这三个分数在F。

7中是有的），不能计算在内但其实，2/6，3/6，4/6这三个分数的分子都与分母6不互素，而1/6，5/6的分子都与6互素小于6且与6互素的正整数是1和5，共2个，它正是欧拉函数在m=6时的值6的素因数分解是：6=2×3，所以，φ(6)=(2×3)×(1－1/2)×(1－1/3)=2。

同理可以求出：φ(5)=5×(1－1/5)=4，即F7中的1/5,2/5,3/5,4/5φ(4)=(2×2)×(1－1/2)=2，即F7中的1/4和3/4φ(3)=3×(1－1/3)=2，即F7中的1/3和2/3。

φ(2)=2×(1－1/2)=1，即F7中的1/2所以法雷数列F7中既约真分数的总个数为：   φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(5)+φ(6)+φ(7)= 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 。

= 17这就是计算法雷数列中数的总个数的方法于是，我们可以求出F8中数的个数：   φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(5)+φ(6)+φ(7)+φ(8)= 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 + 8×(1－1/2)。

= 21即在F7的基础上增加了1/8, 3/8, 5/8, 7/8这4个既约真分数还可以计算大一些的法雷数列（比如F12）的个数：       φ(2)+φ(3)+φ(4)+φ(5)+φ(6)+φ(7)+φ(8)。

             +φ(9)+φ(10)+φ(11)+φ(12)= 1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 + 4         + 6 + 4 + 10 + 4= 45即，在F8的基础上，

●增加了1/9, 2/9, 4/9, 5/9, 7/9, 8/9这6个既约真分数;●增加了1/10, 3/10, 7/10, 9/10这4个既约真分数;●增加了1/11, 2/11, 3/11, 4/11, 5/11, 6/11, 7/11, 8/11, 9/11, 10/11这10个既约真分数;

●增加了1/12,5/12,7/12,11/12这4个既约真分数注意，欧拉函数φ(m)中，只有φ(2)=1，是奇数，其他的全部为偶数所以，法雷数列的个数全为奇数相关阅读(点下面文章名称可进入链接)：  [1]  有关法雷数列的文章，参见：

《既约真分树 | 法雷数列》  [2]  有关欧拉函数的文章，参见：《欧拉函数φ(m) | 互素 | 容斥原理》