顶点式？顶点式化成一般式的公式？学到了吗

27520171008国庆小长假周日数学教育教学教研作品《二次函数的“六型”互转 · 杂谈》（秦中 朱校华

 

27520171008国庆小长假周日数学教育教学教研作品《二次函数的“六型”互转 · 杂谈》（秦中朱校华原创）

一、“裸体型”抛物线.抛物线y=ax2(a是常数且a≠0)的顶点是原点，对称轴是y轴，这类抛物线是最简单型，美其名曰“裸体型”抛物线。

二、“上衣型”抛物线.把形如y=a(x-h)2(a与h均是常数且a≠0)的抛物线叫做“上衣型”抛物线，其顶点是（h,0），对称轴是直线x=h.此抛物线实质上是将“裸体型”抛物线经过“向左或者右平移h绝对值个单位”得到的，上衣一般需要动动左右手，故名“上衣型”。

三、“裤子型”抛物线.把形如y=ax2+k(a与k均是常数且a≠0)的抛物线叫做“裤子型”抛物线，其顶点是（0，k），对称轴是y轴（y轴也叫直线x=0）“裤子型”抛物线实质上是将“裸体型”抛物线“向上或者下平移k绝对值个单位”得到的，裤子一般是上下穿上的，所以美其名曰“裤子型”抛物线，属于按其平移性来定名的。

四、“全装型”抛物线.把形如y=a(x-h)2+k(a、h与k均是常数且a≠0)的抛物线叫做“全装型”抛物线，寓意是既有上衣又有裤子的装扮，其实就是教科书上提得最多的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h.“全装型”抛物线实质上是“裸体型”抛物线经过上下左右平移得到的，其平移秘诀是八字“

上加下减·左加右减”：当h是正数时，将抛物线y=ax2（常数a≠0）先向右平移h个单位，得到y=a(x-h)2(a与h均是常数且a≠0)的抛物线；当k是正数时，将y=a(x-h)2(a与h均是常数且a≠0)的抛物线向

上平移k个单位，得到y=a(x-h)2+k(a、h与k均是常数且a≠0)的抛物线当h是负数时，将抛物线y=ax2（常数a≠0）先向左平移-h个单位，得到y=a(x-h)2(a与h均是常数且a≠0)的抛物线；当k是负数时，将y=a(x-h)。

2(a与h均是常数且a≠0)的抛物线向下平移-k个单位，得到y=a(x-h)2+k(a、h与k均是常数且a≠0)的抛物线。

五、“一般型”抛物线.把形如y=ax2+bx+c（a、b、c均是常数且a≠0）的抛物线叫做“一般型”抛物线，教科书上也称其为一般式由于a没有改变，该抛物线与前面所谈的各种类型抛物线形状相同将“一般型”的抛物线可以通过“配方”转化成“全装型”抛物线，也就是把一般式化成顶点式，这是一份基本技能。

还可以使用固定的顶点坐标公式进行直接转化得出顶点式。至于顶点式化成一般式，只需要将括号去掉整理即可。

六、“交点型”抛物线.把形如y=a(x-x1)(x-x2)（其中常数a≠0.x1与x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根）的抛物线叫做“交点型”抛物线由于关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根不一定存在，必须依靠判别式的取值来决定，所以“交点型”抛物线不是普遍存在的，应该属于比较特殊类型的版本，使用时要“谨慎”之。

具有“交点型”的展开后即可很快得到一般式，可以这么说：一般式是万能式，顶点式是特别式，交点式是特型式。

七、“型”与“性”总结.“全装型”即顶点式是抛物线各大类型中的“佼佼者”因为从顶点式中可以直接看得出抛物线的开口方向、顶点坐标与对称轴，是画图与解决问题中最拿手的类型一般式通常化成顶点式，这样就能将其“草图”画出。

遇上确定二次函数解析式确定问题时，一般题给条件会给出抛物线上三个点的坐标，常常采用预设一般式，使用待定系数法来搞定；假如这三个点的坐标中有两个点的纵坐标为零时，我们可以使用“交点型”来搞定会更“爽”些当题给条件中，已知顶点的坐标，首选顶点式更佳。

二次函数除了“六型”，还有“六性”（在前面的微信材料中早已畅述过，指的是：（一）开口性；（二）对称性；（三）最值性；（四）增减性；（五）交点性；（六）平移性。

比方说：【朱校华原创考题1002号】抛物线y=x2-2x-3与两坐标轴交点组成的三角形面积等于.很明显：本题给出的是“一般型”（也说成是“一般式”）抛物线，使用的是“交点性”（即与两坐标轴的交点情形），可以很快求得出正确答案来。

本题还可以将一般式转化成顶点式甚至交点式，交点式就是y=(x+1)(x-3)；还可以求得出顶点坐标等总之，学好二次函数的关键在于弄懂“六型”与“六性”可以这么讲：性中有型，型中有性，性型互动，喜报立送！。

再看一道朱校华原创中考题：

原题给出的是“一般型（或讲“一般式”）”抛物线，常规思路是把它转化成“全装型”（或讲“顶点式”）抛物线为：y=m(x-1)2+n（其中m、n均为常数且m≠0）.可以一眼看出：对称轴是直线x=1，这是固定的模式。

但是由于m可以是正数或者是负数，所以能够结合“六性”中的“对称性”与“开口性”必须考虑“分类讨论”值得一提的是：依据对称轴为直线x=1显示的对称性可以清晰地知晓：点D与点E不是关于直线x=1对称，所以点D、E不可能同时在抛物线上；进一步由点A、B确确实实关于直线x=1轴对称，所以抛物线必须同时经过点A与点B.请看：。