麦考利久期(麦考利久期计算公式)一看就会

静朴至慧 一、修正久期和有效久期修正久期衡量的是在假定当收益率变化时，债券的预期现金流不会变化的情况下，对于

 

静朴至慧一、修正久期和有效久期修正久期衡量的是在假定当收益率变化时，债券的预期现金流不会变化的情况下，对于收益率变化100个基点，债券价格变化的近似百分比假定当收益率变化时，债券的预期现金流不变，这就意味着，当收益率上升和下降后，计算V+和V-时，使用的现金流和计算V0时的现金流是相同的。

因此，当收益率变化时，债券价格的变化仅仅是因为将现金流以新的收益率水平进行贴现引起的，现金流没有变化换句话说，修正久期仅考虑了收益率的变化对价格的影响，没有考虑预期现金流可能的变化这个“当收益率变化时，债券的预期现金流不变”的假设，对于无期权债券来说是合理的。

但是对于含有嵌入式期权的债券来说，这个假设是不成立的我们前面介绍的久期没有考虑含有嵌入式期权的债券，没有考虑到改变预期现金流的收益率变化时，债券的价格如何变化有一些计算附期权债券的价格的估值模型，当使用这些估值模型计算收益率上升和下降的价格时，计算的久期不仅考虑了使用不同的收益率水平进行贴现还考虑了收益率变化时预期现金流如何变化。

当久期是以这种方式计算时，该久期称为有效久期或者期权调整久期总结一下：久期是衡量收益率变化时债券价格敏感性的指标修正久期是一种久期指标，这种久期假定收益率变化不会改变债券的预期现金流有效久期是一种久期指标，该久期承认收益率变化可能会改变债券预期现金流。

对于含有嵌入式期权的债券，修正久期和有效久期的差异可能会很大所以使用修正久期衡量含有期权的债券价格敏感性将会存在误导性，有效久期会更适合衡量含有期权的债券的价格敏感性二、麦考利久期和修正久期麦考利久期是使用加权平均数的形式来计算债券的平均到期时间。

具体来说，它是债券预期现金流收到的时间的加权平均数，其中权重为每期的预期现金流占债券价格的比重麦考利久期的计算公式如下图：

上图的公式是假设债券是按年付息的对于一般情况债券的麦考利久期的计算公式为将上图中的t除以付息次数，加总从1加到nk，其余的不变为了和麦考利久期进行比较将修正久期的计算公式写成：1/（1+收益率/k）*【（1*PVCF1+2*PVCF2+……+n*PVCFn）/（k*P）】。

其中：PVCFt表示第t期收到的现金流的现值n表示债券的期限P为债券的价格k为一年付息的次数，如果半年付息，k等于2；如果按月付息，k等于12而括号中的内容正好等于麦考利久期所以修正久期等于1/（1+收益率/k）*麦考利久期

上述修正久期计算公式是怎么来的呢？其推导过程如下：因为久期衡量的是对于收益率微小的变化，债券价格变化的近似百分比那么修正久期衡量的也是对于收益率微小的变化，债券价格变化的百分比，只不过有个假设条件，假设当收益率变化时，债券预期的现金流不变，这个假设很重要，这个从推导过程就可以看出来。

因为当收益率变化时，预期现金流不变，所以现金流和收益率无关，当对收益率求导的时候，现金流可以看作常数。推导过程如下：

通过上图的推导修正久期的计算公式就可以写成如下形式了：1/（1+收益率/k）*【（1*PVCF1+2*PVCF2+……+n*PVCFn）/（k*P）】当k等于1时，修正久期的计算公式为：1/（1+收益率）*【（1*PVCF1+2*PVCF2+……+n*PVCFn）/（P）】

修正久期的简化计算公式为（收益率下降后的价格-收益率上升后的价格）/2（初始价格）（以小数形式表示的收益率变化）通常使用简化公式计算债券的修正久期。使用麦考利久期和修正久期的分析过程如下图：

从上图分析过程可以看出：价格变化百分比等于麦考利久期乘以收益率变化百分比，而等于修正久期乘以收益率变化幅度。如下图所示：

然而修正久期衡量含有嵌入式期权的债券的价格敏感性是一个有缺陷的指标，所以麦考利久期也是因为它们会误导投资者，因为它们掩盖了对于含期权的债券必须要考虑预期现金流的变化的事实三、投资组合的久期1、计算投资组合中债券久期的加权平均值。

投资组合的久期等于投资组合中所有债券久期的加权平均值权重为各债券的市场价值占投资组合中价值的比重投资组合的久期等于各债券的市值占总市值的比重乘以各债券的久期之和这个投资组合的久期该如何理解呢？假设一个投资组合的久期经过这种加权平均法计算出来为7.5，

那么该久期表示对于投资组合中每种债券的收益率都变化100个基点，投资组合的市场价值将大概变化7.5%但是，要时刻记住，为了使投资组合久期有用，对于投资组合中的每种债券都要变化100个基点换句话说就是收益率曲线必须平行移动。

这是很严格的前提条件，怎么强调都不为过2、先计算市值变化百分比，再进行调整另一种计算投资组合久期的方法是计算投资组合中每一种债券对于指定数量的收益率变化的价格变化金额，然后将所有的价格变化加起来所有的价格变化总和除以投资组合初始的市场价值就会得到投资组合市值变化百分比，将市值变化百分比调整后就得到投资组合的久期。

如何调整？计算投资组合变化百分比的时候，收益率并不总是变化100个基点，那么我们需要将得到的市值变化百分比调整为变化100个基点的市值变化百分比具体调整公式为：计算的百分比*（100/计算过程中收益率变化基点）

举个例子当收益率变化50个基点时，通过计算投资组合中各债券价格变化金额，然后加总，最后计算出来的投资组合变化百分比为4.2，那么调整后就是对于收益率变化100个基点，投资组合变化的百分比为8.4【调整过程为4.2*（100/50）】

中英文对照modified duration 修正久期effective duration 有效久期Macaulay duration 麦考利久期due to 由于，因为，归功于make sense 合理的，讲得通的

option-adjusted duration 期权调整久期critical 严格的alternative 另一种，可供选择的mask 掩饰，掩盖approximate 近似的，大概的dramatic 引人注目的，巨大的

——————————————————————麦考利久期、修正久期、凸性、Key Rate(关键利率)、债券复制小饼干说好不不不不不熬夜Duration & Convexity（久期&凸性）Key point：

Macaulay Duration、Modified DurationEffectiveDuration、Key Rate DurationConvexity、EffectiveConvexityBond Replication

Duration（久期）1、Duration（久期）持有债券现金流平均回流时间时间的加权平均，权重是每笔现金流占总现金流的比重ZeroCupon的D=TT↑→D↑Y↑→D↓C↑→D↓Convexity受因子影响方向与Duration一样

Mac.D反应利率y变动引起的价P的变动D越大，利率风险越大ΔP/P=-D*ΔyΔP=-D*P*ΔyD=-ΔP/（P*Δy）1.1、Macaulay Duration（Mac.D麦考林久期）是时间，平均回流时间，只能说明久期大的利率风险大，具体大多少没有量化

1.2、Modified duration (Mod.D修正久期)是P关于y一阶导，是量化概念，是债券曲线上点的斜率，是P关于y的变动速度Mod.D=Mac.D /( 1 + y/n)Y为到期收益率，N为一年贴现期数

DV01：当利率y变动一个1个bps(0.0001)时价格P的变化1.3、Effective Duration（ED有效久期）是P关于y二阶导，考虑了凸性

Portfolio Duration（资产组合久期）单个asset的D加权平均和Mac.D用于不含权债券Mod.D用于不含权债券ED衡量含权债券含权的Duration小，因为可以提前行权

1.4、Key Rate Duration（关键利率久期）关键年期P对Y的敏感性用于yieldcurve的nonparallel shifts而ED描述的是parallel shift中，P对Y的反应某个期限的par yield只会被前后最近的key rate影响

影响呈线性递减，两个Key Rate相关影响为0Zero coupon bond的Kr.D之和=Mod.D

关键利率久期公式与ED一样

Convexity（凸性）2、Convexity（凸性）2.1、Convexity不含权债券正凸性，P与Y反向变动Callablebond 有Negative Convexity，在y左边部分Putablebond不具有Negative Convexity

Callablebond对issuer有利，所以便宜VCallable+Voption=VpurePutablebond对bondholder有利，所以贵VPutable-Voption=Vpure

V0是当前市场价格，而非理论价参考源公式D=-ΔP/（P*Δy）2.2、Effective Convexity（有效凸性）

Bond Replication（债券复制）W*CF1+(1-W)*CF2=CF3→W→W*price1+(1-W)*Price2= Price3最后一期现流=利息+本金，利息注意要用当期利息，半年的一定记得除以2

CF也可以换为Duration