圆锥展开图(用a4纸怎么做圆锥展开图)难以置信

数学家华罗庚曾经说过“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微”。

 

数学家华罗庚曾经说过“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微”。纵观小学数学，“画”的身影随处可见：十以内的加减运算中，用实线图表示合并、用虚线圈表示减去，简洁易懂；

认识分数时，借助圆、长方形、线段等进行平均分操作，分数单位便不再抽象；

面对复杂的问题解决，线段图成为化繁为简、有效解题的好帮手；

几何学习自不必言，掌握周长、面积、体积概念与运算无一不需要画图作为辅助工具······在“双减”政策背景下，为了使学生更好地掌握数学知识，埠头小学的数学老师借助“画作业”，教授数学内容，让学生的数学思维在图画中可见。

下面以人教版六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》为例，与大家共同探讨我乡“画作业”的练习方式PART 01课前画：前置探究 创造思维在“圆柱与圆锥”教学中，通过画“圆柱体”、“圆锥体”帮助学生在脑海中形成图形的表象。

“圆柱的表面积”这一知识的探究借助画图回顾圆的周长中“化曲为直”的数学思想，为学习圆柱的侧面积打下基础。

PART 02上课画：直观感知 发展思维（向上滑动启阅）“圆柱与它的展开图”教学设计教学时机：六年级下学期，学习“圆柱的认识”之后，“圆柱的表面积、体积”之前进行教学教学目标：1.通过画圆柱与它的展开图，进一步掌握圆柱的特征；。

2.通过图形的“动态展开”，感受面与体的关联，帮助理解抽象的数据转换教学流程：一、回顾特征师：这两天，我们认识了圆柱，谁来说说它们有什么特征？板书：2个底面，1个侧面，无数条高，直柱体设计意图：通过对圆柱的外部特征回顾，为画草图做好知识准备。

二、尝试画圆柱1.明了画图要求师：同学们能试着在作业本上画一个圆柱吗？画图要求：要具备圆柱的基本特征设计意图：学生通过对作图要求的再度解读，加深共识2.学生尝试：学生尝试画图3.展示交流投影呈现指认底面、侧面，底面周长、直径和高，并标上字母d和h。

三、从“立体”到“平面”1.尝试画展开图师：这个圆柱，如果沿着h将它的侧面展开，会是什么形状？（长方形）师：既然侧面展开是长方形，决定它的大小的就是---长和宽长和宽分别怎么画？图不要求精确，但需要大致符合数据要求，请你试一试，使展开图的大小尽可能符合要求。

设计意图：在实际学习过程中，我们经常发现学生能口答“侧面的长就是底面周长，侧面的宽就是圆柱的高”，但是在具体转化应用时却又一筹莫展学生对立体与平面图形之间的转化仅仅停留在动态展示的理解中，而没有深入地去感受过转化中的数据关系。

让学生画大小尽可能符合数据要求的侧面展开图，是需要学生从关系的角度展开深度思考的，而不仅仅是去简单地画一个长方形2.展示汇报（1）展示一：大概估计，心里没有估的标准师：看着他画的圆柱与侧面展开图（见下图），你从展开图的长和宽两个维度去观察，有什么想说的吗？。

追问1：宽度超过了圆柱的高，草图上如何确定圆柱的高度？（上下底面直径与高的交点之间的距离）追问2：长方形的长，自然要比直径长，但到底是多长？与直径之间有什么关系？为什么是π倍的关系？（侧面展开图的长，就是圆柱的底面周长。

）（2）展示二：虑及π倍的草图。师：谁能看明白他这个草图的画法？

追问：这三个分割点代表了什么意思？每一段代表了什么意思？设计意图：在这一展示过程中，从没有估的标准作品切入，暴露不关切具体数据的问题，再展示关注了具体数据的作品，通过“谁能看明白”达成互动交流，为改进作图做好准备。

四、再画巩固1.实物动态，辅助理解结合侧面展开图的草图，将一张A4纸卷成的圆柱侧面展开，指认圆柱的底面周长和高分别变成了长方形的长和宽，理解立体图与平面图之间的联系2.从直径出发，画一个侧面展开图根据画的圆柱图中的直径长度，画出侧面展开图的长；根据圆柱的高画出侧面展开图的宽。

3.补充展开图师：把一个圆柱展开，侧面的展开图画好了，两个底面你能添上去吗？底面的大小如何确定？小结：从侧面展开图的长中，确定直径的大概长度，就能画底面的圆。

五、从“平面”到“立体”1.学会确定圆柱的底面直径和高师：如果现在有一张长方形的纸，你能画出它左右相卷，卷成圆柱体后的草图吗？追问：如何确定圆柱的底面直径和高？小结：圆柱的高就是长方形的宽，而将长方形的长分成三份多余一点的形式，其中的一份就是圆柱底面直径的长度。

2.学会画长方形纸从两种角度卷成圆柱的草图。请利用给你的两个长方形图继续来画。（1）配上底面---不同角度卷起来的两种底面。（2）画出对应的圆柱。

（3）同桌说说方法集体小结设计意图：通过已知的长方形的平面图形画立体图形草图，帮助学生进一步把握侧面展开图的长与圆柱底面直径的关系，促进学生建立相互转化的链接3.特殊的侧面（1）问1：如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明什么？（底面周长＝高）。

问2：你能根据这个侧面画出圆柱吗？

（2）如果现在告诉你，圆柱的侧面展开是一个边长为2cm的正方形，看谁画的圆柱草图最接近准确数据交流：说说你是如何让自己的草图接近准确数据的板书小结：侧面正方形边长2cm→底面周长2cm→（分成三份多一点）底面直径→高2cm。

设计意图：通过特殊的正方形侧面展开图，让学生画接近准确数据的草图，用数据估着画，能使学生进一步把握正方形的边长与圆柱直径、高的联系六、全课总结师：这节课，我们画了圆柱和它的展开图，你有什么收获？师：圆柱的大小和它的侧面展开图密切相关，有哪些具体的数据联系？。

从圆柱草图画出较为准确的侧面展开图，从侧面展开图画出较为准确的圆柱草图，需要做的就是找到它们之间的联系。作业设计：一个圆柱的侧面展开是一个边长为5cm的正方形，请画出圆柱的图。

（向上滑动启阅）“圆柱的变化”  教学设计教学时机：六年级下册第三单元，学习“圆柱的表面积”“圆柱的体积”之后进行教学教学目标：1.通过画圆柱的切割图，进一步理解“截面”的含义，培养空间能力；2.通过画圆柱的动态增加图，进一步优化表面积、体积问题的解决策略；。

3.通过图形的动态变形，感受圆柱表面积与体积的变化，在解决问题中发展几何直观能力教学流程：一、回顾“如何得到圆柱体”问：我们在学习过程中，遇到了大量的关于圆柱的“解决问题”在这些问题中，圆柱体是怎么得到的？出现过哪些形式？。

卷出来---长方形纸卷出侧面切割-----从长方体中切割而得旋转-----纸片旋转运动，纸片为圆柱的半个截面平移-----水柱管道运动，水柱运行的长度为圆柱的高小结：关于“卷”出来，咱们已经画过了，接下来重点研究“切割”“旋转”和“平移”。

二、分层研究1.切割一个长方体的三种棱长度分别为10厘米、8厘米、5厘米，以不同的面为底面，切出三种尽可能大的圆柱，比较一下它们的体积（1）理解信息，想象“切割”画面（2）画简单的草图，找到基本数据

师：刚才同学们都画了三个草图，有了自己动手画的体验后，你能看懂这个草图吗？这样画有什么好处？（简单，也能得到基本信息。）

师：那你能从中得到哪些基本信息？①号，底面在上面，直径为5，高为8；②号，底面在前面，直径为8，高为5；③号，底面在侧面，直径为5，高为10师：根据发现的基本信息，你能比较这三个圆柱体的大小吗？一种确定：③号一定比①号大。

两种猜想：②号比③号大，③号比①号大用数据验证：②号是4×4×5×π＝80π，③号是2.5×2.5×10×π＝62.5π师：你有什么感受？小结：体积要大，就要尽可能让底面半径大设计意图：学生往往会根据信息去画三个切割图，这对解题而言，支架过于累赘。

因此，教师在学生体验后，直接示范简单作图法，让学生再次体验到画草图的目标是找到问题解决的关键信息草图无须精确到位，但要合理、简洁，甚至可以取巧，只要能帮助找到关键信息就可以（3）变化从长方体、正方体中可以切割出圆柱体，圆柱体自身也可以再被切割，得到小圆柱体。

A．把一根长为400厘米的圆柱形木料沿横截面锯成4段，表面积比原来增加了90平方厘米，原来这根木料的体积是多少立方厘米？B．把一根长为400厘米的圆柱形木料沿横截面锯了4次，表面积比原来增加了90平方厘米，原来这根木料的体积是多少立方厘米？

师：你能画图，标数据，列出式子吗？师：对比两道题的图，说说你的理解。

设计意图：切割，从表面积增加的角度来求出原体积，是学生较为常见的问题通过题组比较的形式，让学生借助画图深度理解题意，掌握解题的关键点（4）深化出示题目：把一个高为10厘米的圆柱沿着底面直径切成相等的两半，表面积增加80平方厘米，这个圆柱的体积是多少立方厘米？。

师：请先想象，再画图尝试找基本数据。师：做完以后，能和同桌交流一下你画的图，轻轻地说一说你的解题过程吗？反馈：谁上来介绍一下自己画图解答的过程？

设计意图  ：这种切割，数据隐含，比较难学生借助草图就能轻松理解并解决问题画草图之前，一定要让学生多想象，再用图形予以表达,这样更有利于培养学生的空间观念2.旋转出示题目：有个长4厘米、宽3厘米的长方形纸片，以其中的一条边为轴旋转可以得到圆柱体，两种圆柱体的体积分别是多少？。

（1）理解题意。（2）想象。（3）带生作图。

（4）问：哪个圆柱体积大？为什么？小结：短边为轴、长边为底面半径的圆柱的体积更大设计意图: 学生已经具备根据长方形的两个数据画草图的能力，但是对方法还不是很清晰，需要教师提点、引导、规范，以助推草图的有效性。

因此，不用让已经有相关画图体验的学生再去通过尝试来积累经验，而可以让学生充分想象，然后直接示范引领3.平移出示题目：在直径0.8米的水管中，水流速度是每秒2米，那么1分钟流过的水有多少立方米？①  师：确定形成了圆柱吗？能找到关键信息试着画图吗？。

②反馈交流图，感受图的作用。

设计意图：动态的水柱是圆柱体，对学生而言是比较难以理解的，借助草图，学生的理解难度此下降了1分钟是60秒，也是个较大的数据，可以采用推想简化的策略学生在学习“长方体变形记”一课中，已经积累了相关的经验，但对小学生需要在不同阶段进行强调，予以强化。

三、全课总结问：关于画圆柱的变化图，你有什么收获？

（向上滑动启阅）“圆锥的（体积）变化”教学设计教学时机：六年级下第三单元，学习“圆锥的体积”之后进行教学教学目标：1.通过画圆锥的动态旋转图，提升圆锥体积问题的解决能力；2.通过图形的“等积变形”，感受圆锥与圆柱的联系，发展几何直观能力。

教学流程：一、回顾圆柱与圆锥的关系1．看式子画图形看着3.14×32×4÷3＝37.68（立方厘米），请你画图描述一下这是一个怎样的圆锥2．画图标数据请画出这个圆锥以及与它等底等高的圆柱的草图，并标注相关数据。

设计意图：从式子想象图形，进一步掌握和圆锥体积计算相关的基本数据二、旋转，构成圆锥师：要使三角形旋转形成圆锥，必须是什么三角形？以哪条边为轴旋转？想象、描述、作图：直角三角形，以一条直角边为轴，一条直角边为底面半径。

师：以哪条边为轴，圆锥体积更大？为什么？追问：如果这个直角三角形的一条直角边为4，一条直角边为3，那这两个立体图形的体积是多少？小结：以较长的直角边为半径，得到的圆锥体积更大设计意图：想象和描述是空间观念培养的主要途径，因此要多让学生经历想象、描述、作图的过程，并通过草图，掌握图形的特征。

三、圆锥和圆柱的关系1.画等底等高的一对圆锥与圆柱。教师示范作图：先画两个有一样的“底面”的圆锥和圆柱。（见下图）

设计意图：学生到了六年级，已经具备一定的分析能力，而且学生又有了关于三角形与平行四边形变化的经验，因此关于圆锥与圆柱的变化不再借助具体的数据让学生感受，而只是让学生通过直观感知来确定大小2.画等底等体积的一对圆锥与圆柱。

（1）学生尝试画。（2）呈现画对的作品，进行交流。

问：圆柱的高度，你是怎么确定的？充分交流，多种思考角度：方法一：体积公式数据推理。根据题意，可知Sh柱＝Sh锥÷3→h柱＝h锥÷3。方法二：将图上与圆锥等底等高的圆柱均分成3份，借助草图进行理解。

（3）呈现画错的作品，引发学生自己分析错误。3.画等底等体积的一对圆柱与圆锥（1）学生尝试画。

（2）学生展示交流：圆柱的底面大小，你是怎么确定的？设计意图：学生有了“确定高”的经验，“确定底面”就可以放手由学生来展示、交流，多角度表达自己的理解4.跟进思考试着填一填“等（）等（），圆锥（    ）是圆柱的（）”。

小结：等底等高，圆锥体积是圆柱的;等底等体积，圆锥高是圆柱的3倍；等高等体积，圆锥底面积是圆柱的3倍追问：为什么后两种情况“等体积”时，作为“弱者”的圆锥的“高”和“底”反而是圆柱的3倍了呢？设计意图：在学生的印象中，圆锥是“弱者”，他们会习惯于回答圆锥的（ ）是圆柱的通过绘制大致的草图，学生从抽象的变化感知走向具体的大小感知。

四、全课总结问：学了关于圆锥的变化问题，你有什么收获？

1.画草图，画出思维的清晰认识“圆柱的侧面展开图”，学生很容易固定思维---圆柱的侧面展开图就是长方形，让他们画图说明，通过画图表达在什么情况下圆柱侧面展开图是长方形、正方形、平行四边形，学生顺利完成由曲面到平面的转化。

2.画细节，画出思维的准确。探究“圆柱侧面展开图是长方形”这一教学中，通过让学生画图表达长方形的长与底面直径的关系，在头脑中形成“长是底面直径三倍多一些”的表象。

3.画难点，画出思维的深度。圆柱的切割，从表面积增加的角度来求出原体积，是学生较为常见的问题。通过题组比较的形式，借助草图深度理解题意，掌握解题的关键点。

4.画推导，画出思维的逻辑。“圆柱的体积”一课，通过教具演示学生对圆柱的体积公式的推导已初步感知，通过画图让学生的思考过程可视化，培养学生思维的逻辑性。

5.画联系，画出思维的广度。学习本单元知识后，引导学生从关联性视角画出圆柱和圆锥之间的关系。

PART 03课后画：梳理拓展 发散思维以“一书两练”作业为载体巩固画图技能，题中有图不需画，题中没图旁边画；简单易懂头脑中想象画，易错难题作业中着重画以“画图分析”作为作业的要求，让学生将自己思考的过程可视化。

 “画作业”让学生的数学思维可见，使我们师生有了新的生长和精彩。但使学生从“看图”到“看明白图”，从“试着画”到“我会画”，需要我们一起走一段长长的路。

END

文字：刘钰菲图片：刘钰菲制作：刘   千审稿：王建林  刘力华