悬链线方程(悬链线方程的推导过程)这都可以

虚位移本来就不适合简单的题目(见这篇简单题目虚位移，虎落平阳被犬欺)，但若非要这么追高大上的“虚”，那就只好这样“别扭”吧

 

悬链线(Catenary)是一种曲线。曲线对应的物理是两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的形状。比如悬索桥的悬索就是悬链线。

悬链线很像抛物线, 当初伽利略就是这样猜的，后来荷兰物理学家惠更斯则用物理方法证明了它不是抛物线，但到底是什么，他也没答案几十年后，雅各布·伯努利再次提出这个问题雅各布努力了一年也没有结果，可他却懊恼地看到他的弟弟约翰·伯努利发表了该问题的正确答案，可能为了戏谑他哥哥，约翰逢人便说。

这个题目费了他一晚上脑细胞悬链线函数有多种推导方法，最经典最容易理解的方法还是隔离体法用虚功原理方法没有太大的优势，但是还要执着地推导一下，以免被别人问起来有点心虚图1(a)所示悬链线密度ρλ，坐标原点建立在悬链的最下方。

考虑图中OA段悬链按照虚功原理，让它沿悬链有个虚位移δs（图1(b)）OA段沿悬链虚移动δsO点虚移δs到O，A就向上虚移到A’(相当于OO被搬到了AA)在这个虚移动过程中，做虚功的力有O和A两处拉力，以及微段从

OO搬到AA，其重力所做的功由虚功原理有(虚位移无穷小，力的方向在这个过程不变)-FO δs+ FA δs-ρλ g δs y=0       (1)在上面方程中FO是常数，但FA是变数，所以仅有上式是不够的。

如果非要套虚位移的方法，可以像图1(c)那样，让悬链刚性向右虚位移δx(类似地，也可虚设垂直竖向位移),再由虚功原理有-FO δx+ FAδx cos θ=0              (2)得到(约去虚位移δ

x)FO= FA cos θ            (3)是不是感觉式(3)得到的有点别扭呢？直接取图1(a)的OA段分离体，再写水平方向平衡方程就可以了其实虚位移本来就不适合这种简单的题目(见这篇简单题目虚位移，虎落平阳被犬欺

)，但若非要追高大上的“虚”，那就只好这样“别扭”吧。从式(3)解出FA代入式(1)得到(约去虚位移δs)FO(sec θ -1)- ρλg y=0           (4)按照几何关系有

(完毕)关注孜孜不倦的公众号吧

相关连接3.6+1.4=5错了没？伽利略的摆能摆多高？孔明灯升起来是因为浮力？没这么简单！胡适的《差不多先生》何以有土壤？两自由度系统但不耦合的一个新例伽利略做斜面实验怎么计时的呢？停课不停学:圆盘从桌角怎么掉下来？

飞球调速器的微幅振动杆倒光滑地，再补一常力理力要结课考试啦!瞄准评分标准呀！两刚体碰撞:恢复系数=1与能量守恒Va=Ve+Vr的Vr是动系下观察到的速度矢量吗？八级风吹塌了造价1.4亿美元的桥梁必须求导才能得到圆轮角的角加速度吗？

如何推导复合运动的加速度公式牵连点在哪里？滚动摩阻问题也可以用几何法理力不关心静摩擦力指向尽管双墩确比独墩强，但是人心不足蛇吞象力学分析中的正号与负号力学老师们看杂技国庆烟花树也有力学一溜儿摆，为啥扭起来？

刻甲骨，很辛苦，力学老师瞎捉摸约束力方向判断之阻碍位移一道振动竞赛题的三种解法简单题目虚位移，虎落平阳被犬欺杠杆定理杠上杠杆原理重弹簧的静伸长:初等数学搞不动最速降线的故事和思考重弹簧内力, 中学物理伤不起

有质量弹簧的频率只剩教学意义约束要理想，关键是对象殊法同归的环转球滑燕飞三质点，绳力随时变动力学的轻杆也是二力杆三质点燕儿飞，绳拉力别气馁想玩有重量的弹簧，还是算了吧弹簧的"轻"与"重"机械能守恒定律扯得上相对论吗？

带尖细绳拉物体，加速怎么玩？二力杆，你不要太装碰撞问题不Care坐车厢上为啥这里不考虑轮子的上升？一道中学物理微振动竞赛题的三种解法为啥匀速系下机械能就不再守恒了？一道弹簧形变量判断题Spring! Mass! 弹起来!

拉船靠岸加速度，请看此招简单不？弹簧和小溪何以能搭上春天双轮摩擦横杆的振动分析半圆环摆动的两种解法有点硬凑的一道弹性绳题目弹簧摆, 摆多高？物理新题不好造绳拉两小环的三种解法一道动力学竞赛题的力法求解算功要用哪点位移？学过物理力学为啥还要学理力？

一道吵了又炒的高考题一道中学题在大学圈的众筹矢量不是力，主矢自然不是力理力的力是什么力？动能定理例题六（视频）长文：为什么排斥对瞬心的动量矩定理？合成运动例题二视频三角形分布载荷化简这样示意约束反力的特性有点懵

咦?汇交力系咋只有两个独立方程呢？受力分析和受力图例题(一)如何画受力图(一）如何画受力图(二）:对行大事也有启示物理反复讲力学，干啥还要学理力？梯子不稳怎么爬！一道摩擦平衡题公理、原理、法则与定律力系的合成与简化只对单个刚体有效

力矩和力偶矩的正负谁改变了物体转动状态？力矩，力偶，还是力？把彩带拉出感觉来三角桁架的故事动量定理背后的大道理复合运动五相型之相交型复合运动五相型之相接型—速度复合运动五相型之相切型复合运动五相型之相依型

三点始终作直线运动太空拔河的胜负难分吗？课程育人 |《理论力学》：让专业课的德育润物无声直道不走，皆因有坑不走直道，皆因有坑(续一)不走直道,皆因有坑(续二)不求同发，但求同达神奇的摆线不走直道(续五)：神奇的抛物线

我感觉背后微凉，有鬼？从单自由度迈向多自由度：“凑”法振动分析的小动画速度瞬心的加速度咋分析？一名大一萌新对力学的了解——关于经济物理学陈奎孚|为什么时空变换必须是线性的?一道竞赛题的“诡异”解法就《“诡异”解法》一文讨论的梳理

刘汉义老师对竞赛题的解答中学物理教育应该强基础重通适--一位大学教师的视角“虚功”原理自由振动的“逻辑”解法什么情况下可以抛弃重力势能呢？力学课程自主学习的纠结质能关系推导中的“装神弄鬼”感欣赏欧拉公式的视角

三点合一方能保证势能简洁蹄状体的重心