蝴蝶定理_蝴蝶定理面积公式

大自然生物的美，总是给人以美的享受，就像蝴蝶一样，对称的体型，美丽的翅膀，总能让人心情舒畅。今天，我们走进数学的殿堂，来一起认识一下另一种蝴蝶。

大自然生物的美，总是给人以美的享受，就像蝴蝶一样，对称的体型，美丽的翅膀，总能让人心情舒畅今天，我们走进数学的殿堂，来一起认识一下另一种蝴蝶连接任意一个四边形的对角线，会将四边形分成四个部分，它的形状类似于蝴蝶，称之为“蝴蝶模型”，其背后关于面积和边的比例性质引出了一系列定理，称之为“蝴蝶定理”。

一、任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)

★结论1:如图所示，ABCD是任意一个四边形，被两条对角线分成了四部分，其面积分别为S1、S2、S3、S4,则有:

☞上述结论的得出依据有两个:一是等高三角形面积之比等于对应的底之比即:S1:S2=DO:OB=S4:S3二是比例的基本性质即在比例里，两个外项的积等于两个内项的积由S1:S2=S4:S3可得外项积=S1×S3，内项积=S2×S4,从而得出结论。

第②个结论的得出也是依据比例的一些性质，综合计算得出来的，因为:S1:S4=S2:S3= AO:OC（设其等于a）,则S1=a×S4，S2=a×S3，从而（S1+S2）÷（S4+S3）=a =AO:OC。

二、梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)

★结论2:如图所示，ABCD是梯形，被两条对角线分成了四部分，其面积分别为S1、S2、S3、S4,则有:

结论①的证明需要借助:平行线分线段成比例性质及其推论（内容附后）以及鸟头模型根据平行线分线段成比例性质及其推论，可得，AO:OC=DO:OB=a:b,根据鸟头模型，可知:S1:S3=（AO×OD）:（BO×OC ）=a²:b²,结论②和③方法相同。

三、具体应用蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．例题:

练习题及答案