卷积定理_卷积定理公式

卷积对于已知函数f1(t)和f2(t)，称积分​
​为函数函数f1(t)和f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即
​从定义可以看出，对于任意的t，f1(t)*f2(t)的值为函数f1(τ)在整个

 

卷积对于已知函数f1(t)和f2(t)，称积分​

​为函数函数f1(t)和f2(t)的卷积，记为f1(t)*f2(t)，即

​从定义可以看出，对于任意的t，f1(t)*f2(t)的值为函数f1(τ)在整个实数域R上的加权平均值当t=0时，权重函数(也叫卷积核)为f2(-τ)，当t为其他值时，权重函数为f2(-τ)在自变量轴上平移t后得到的函数，即f。

2(-(τ-t))=f2(t-τ)也就是说，对于不同的t值，对应的权重函数可以看成是某一个确定的函数水平平移t得到的因此卷积运算就是求移动平均，它可以让函数图像变得更加光滑，可以用于去除信号或图像的噪声。

卷积满足交换律、结合律、分配律和数乘结合律由于卷积满足交换律，也可以将f1(t)*f2(t)看成是对f2(τ)求移动平均，此时权重函数为f1(t-τ)卷积的物理意义若t为时间，f1(t)为某物理量随时间变化的函数，例如一段时间内房间中二氧化碳的浓度；现在用仪器连续测量物理量f。

1(t)，不妨仍然假设用质谱仪连续测量房间中二氧化碳浓度测量过程中仪器每隔一定时间输出一个信号数据，表示此刻的二氧化碳浓度然而质谱仪在测量时，是持续从房间中抽取空气进入仪器内并让其离子化同时每隔一段时间将仪器中这段时间内生成的离子检测一次，得到一个信号，表示此刻房间内二氧化碳的浓度。

也就是说任意时刻二氧化碳浓度的测量信号取决于一段时间内的二氧化碳浓度函数，而不是仅取决于该时刻的二氧化碳浓度(这也不可能，因为仪器只能对经过一段时间积累的有限量的二氧化碳的离子化产物进行检测)考虑到空气的流动与扩散，事实上任意时刻的二氧化碳信号都有从采样开始以来的所有时间内二氧化碳的贡献，通常离当前越近的时刻的二氧化碳浓度对测量信号贡献的权重越大。

因此，持续测量房间内二氧化碳浓度这个过程就是对房间内浓度的时间序列求卷积的过程事实上，所有用仪器对一定时间或空间范围内的物理量进行测量的过程都可以看作求卷积的过程，卷积核取决于仪器的特性卷积定理若函数f。

1(t)和f2(t)满足傅里叶积分定理(傅里叶变换)中的条件，则有

​

​即两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换的乘积乘以2π，两个函数乘积的傅里叶变换等于这两个函数的傅里叶变换的卷积有的地方卷积定理表达式等号右边的系数有点差异，这取决于定义傅里叶变换和逆变换时，傅里叶积分中的系数2π是放在正变换中还是否拆分为两个√2π然后分别放在正变换和逆变换中。

卷积定理的物理意义和应用卷积定理本身就提供了计算卷积的傅里叶变换和逆变换的一种简便方法它在处理解微分方程和积分方程求解等数学问题时也非常实用仪器对物理量的测量过程可以看作卷积运算，此时实测信号的傅里叶变换，可以用真实物理量的傅里叶变换与表示仪器特性的函数的傅里叶变换两者之积表示。

只要知道真实的物理量(例如可以人为按已知的速率向房间内释放二氧化碳)的值和测量值，那么就可以根据卷积定理计算出仪器的特性函数，这可以看作仪器的标定过程；若知道仪器的特性函数和物理量的测量值，就可以根据卷积定理计算出物理量的真实值。

此外，卷积和卷积定理在在概率论、信号处理、金融、机器学习等很多领域都有重要的应用例如，当下图像(人脸、二维码等)识别技术最常用的算法——卷积神经网路，其基本运算就涉及求卷积推荐阅读：从勾股定理到帕塞瓦尔(Parseval)等式。

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