托勒密定理_托勒密定理的证明

∵∠CAD=∠CBE，∴三角形ACD∽BCE，∴AD: BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE①同理，三角形CDE∽ABC，∴CD

一、托勒密定理：圆内接四边形两条对角线的乘积等于两对对边乘积之和。（若四边形ABCD内接于⊙O，则AC•BD=AD•BC+AB•DC）

二、托勒密定理的证明：若四边形ABCD为圆内接四边形，则对角线AC与BD的乘积等于一对对边AB与CD的乘积加上另一对对边AD与BC的乘积，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。证明：如下图所示：

设∠ACB大于∠ACD，则在∠ACB内作一个以点C为顶点、以CB为一边的∠BCE，使∠BCE=∠ACD（图中的红色角）∵∠CAD=∠CBE（同弧同侧的圆周角相等），∴三角形ACD∽BCE，∴AD : BE = AC : BC，即AD·BC=AC·BE。

①同理，三角形CDE∽ABC，∴CD ：AC = DE ：AB，即AB·CD=AC·DE②①+②=AD·BC+AB·CD=AC·(BE+DE)=AC·BD即：AC•BD=AB•CD+AD•BC三、典型例题

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举一反三练一练：（1）

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