狄利克雷函数(狄利克雷函数的性质)不看后悔

看教材时不难发现，狄利克雷函数与黎曼函数对于我们学习分析学十分重要不仅数学分析，实变函数中我们也经常提到它们这两个函数都具有很漂亮的性质，本文重在从基本

       看教材时不难发现，狄利克雷函数与黎曼函数对于我们学习分析学十分重要不仅数学分析，实变函数中我们也经常提到它们这两个函数都具有很漂亮的性质，本文重在从基本性质与分析性质角度总结这两个函数与和它们相关函数的性质。

狄利克雷函数

1、函数定义

2、周期性

D(x)以任意正有理数为周期，但没有最小周期。证明：对任意正有理数Q，有理数+Q的和为有理数，无理数+Q的和为无理数，即D(x+Q)=D(x)。3、连续性

D(x)处处不连续，xD(x)仅在x=0处连续证明：前者显然，下面证明后者      xD(x)在x=0处的左极限与右极限都存在，且都等于0*D(0)=0，即xD(x)在x=0处连续当x≠0时，取收敛到x的有理数列{an}和无理数列{bn}，由海涅定理可得，xD(x)的极限不存在，所以当x≠0时，xD(x)不连续。

（所以若让构造仅在x=1处连续的函数，聪明的你知道怎么做了吗？仅在x=2和x=3处连续的函数呢？）4、可导性

       D(x)不连续，自然也不可导，所以我们重点研究和它相关的函数x^nD(x)的可导性       在第3点中，我们指出了xD(x)仅在x=0连续，所以在非零点xD(x)都不可导在x=0处，下式极限不存在。

所以xD(x)在x=0处也不可导，即：xD(x)在任一点都不可导       当n≥2时，类比第3点中证明xD(x)仅在x=0点连续的方法，我们可以得到x^nD(x)仅在x=0处连续，所以在非零点x^nD(x)都不可导。

在x=0处，下式极限

即当n≥2时， x^nD(x)在非零处不可导，在x=0处存在直至n-1阶导数。5、可积性

在[0,1]上，D(x)不是黎曼可积的，但是勒贝格可积的，且积分值为0证明：由黎曼可积的定义，将所有点取成区间上的有理点，可得D(x)达布上和为1将所有点取为无理点，得D(x)的达布下和为0，二者不相等，所以D(x)在[0,1]上不可积。

    勒贝格可积的证明可由[0,1]区间上有理点集测度为0得到。黎曼函数的性质下期再见啦！