圆台体积公式(球的体积公式)万万没想到

锥体体积公式前面的1/3是怎么来的？球体的体积公式和表面积公式又为什么是V=4/3πR³和S=4πR²呢？更有七夕彩蛋等你来开，精彩岂容错过！

 

有必要说明一下，本篇的大部分内容实际上与“七夕特辑”并没有什么关系，和七夕有关系的内容在文章末尾

.   1. 锥体体积公式推导.   锥体的体积公式可以说是是家喻户晓的经典.  

小学生都知道.   小学生（包括六七年前的我）不知道的是，前面的1/3是怎么来的，这个问题也困扰了我六年.   我们来仔细观察一下上面这个式子，

表示底面积，

是总高度.   面积，高度——每一高度处应该都有对应的横截面积——这就有了“化斜为直”的基础.   设在锥体的

高度处的平行于底面的横截面积为

，我们知道

随

的变化应该成二次函数关系，这是因为锥体的横截面的一维尺度（长度）随高度应该是线性变化，即一次函数关系（不然它就不叫锥体了），二维尺度（面积）随高度自然成二次函数关系变化.   可能读到这里还是不容易理解.   那就以圆锥体为例，圆锥体的横截面半径随高度的变化显然是线性的，半径就是典型的一维尺度.   面积是半径的平方，无非多乘一个圆周率系数，显然它随高度的变化就是二次函数关系.   

现在明确了二次函数关系，我们就来找一下

与

的函数关系.   当

时，即对应底，

应该就是底面积

；当

时，即对应尖儿顶点，横截面缩成一个点，

自然是0.   故二次函数

经过点

，

，接下来先来待定系数.   设二次函数

(1)代入

，

得

(2)（此时只消掉了两个系数，还有一个系数a尚未消去）.  对(2)求导得

(3)这样就划归到一维尺度与高度的函数关系（你看(3)式所示的关系是线性的）.   当

也就是在顶点位置时，一维尺度也应该为零，代入

得

，解得

，代入(2)得

(4)这样我们就找到了横截面积

与高度

的函数关系，这有什么用呢？别忘了开头提到的“化斜为直”.   现在随便给出一个锥体

进行切片（微分）

切下来的每一片都可以看做是柱体，在任意高度

处片得的柱体的底面积是此处的横截面积

，柱片的高为锥体高度的无穷小量

，所以依据(4)式，每一个柱片的体积

，将其从高度0积到高度

，就是整个锥体的体积，即

推毕.   2. 球体体积公式推导.   这回直接开门见山，效法锥体体积公式推导，给球体切片（微分）

设球体半径为

，那么按理来说，以球体中面为0高度面（上图中灰色所示），球体的“高度”

范围就是

，上一部分中是从0积到

，这一回就是从

积到

.   关键还是要找出横截面积

与高度

的函数关系.   不过球体的平截面永远是圆形，所以我们可以从截面圆的半径入手.   

从侧视图看，此时从视图圆的轮廓，就可以看出截面半径跟高度的关系.   

我们不妨把这个图翻转一下，

这个半圆的表达式很简单，是由圆的方程推演而来的

（这个方程我在初二就研究出来了

）这是截面半径

与高度

的函数关系，根据圆的面积公式

现在插播一段（可自行跳过），推导一下圆的面积公式.   上图图像与

轴所夹的面积就是半圆的面积，所以圆的面积就是二倍定积分，即

插播回来，横截面积

与高度

的关系就应是

同理，球体的体积就是

我感觉也许我并没有讲明白

.   3. 球体表面积公式推导.   其实思路依旧是给球体切片，不过在推导球体表面积公式的时候，不能把切出来的片看成圆柱，而要看成圆台.   至于这是为什么，下面播送的网络爆款红图将为您直观说明.   

如果不听劝硬要看成圆柱，那么推得的球体表面积公式将会是

（别问我怎么知道的

）.   微分出来这么多圆台片儿，露在外面的就是圆台的侧周，无数个圆台的侧周组成了球体的表面，因此我们要从圆台的侧面入手.   圆台的侧面积公式是

其中

和

分别是圆台两个底圆的半径，

是圆台的母线长（忘了的自己查书去

）.   对于我们微分出来的圆台片儿来说，它的上下底面半径应该是一样的，类似于1和

的差别（没有差别）.   对于母线，我们再看一下翻转过后的侧视图

我们很容易找到圆台片儿的母线长

相当于是个勾股定理.   又已求出截面半径

与高度

的函数关系

，因此，在

高度处的圆台片儿的侧周面积大小就是

同理，整个球体的表面积大小就是从

积到

，即

这不就推导完了么！4. “七夕特辑”.   就当前面说了1500字还不算公式的废话

，现在正文开始.   我之前就在想，七夕节该科普一点什么呢——一开始打算说一说各种心形曲线，转念一想，那不过就是一堆老掉牙的一百度就能百度出一大堆的东西，pass！我也确实该说一些但凡是小学生就能听懂的“人话”了.   于是，我打算在七夕节这一天，说一说一个神奇的数：

我还真不是故弄玄虚.   所有不能被7除尽的整数或有限小数，除以7得到的商，均以142587为循环节.   例如

（时隔若干年再次看见除号是不是无比激动

）这也就好理解上面那个命题了.   不能被7整除的整数，除以7无非是余1~6，而在1~6里面无论余几，正如展示的那样，都逃不开这个142857的循环节；而有限小数可以通过乘以10的整数次方变成整数，道理一样.   而142857的神奇之处又在于，

忽略我加入的一些奇奇怪怪的解读

，你会发现，任意几个由数字142857组成的六位数相加，只要加和小于999999，就一定又是一个由数字142857组成的六位数.   到底是什么神力造就的这个“数学奇迹”，还是个充满美好寓意的奇迹？我前面说了，加和的数要小于999999，也就是六位数加六位数还得到六位数.   现在把它放到以7作分母的那几个无限循环小数里，这就相当于1/7、2/7等等在作加和，得到的永远不是整数就是以7为分母的分数（小数），而后者相当于每个循环节互不干扰，因为各个循环节独自的

六位数加六位数还得到六位数，不会长出循环节外而干扰其他循环节，因此新得到的分数（小数）依旧以142857为循环节.   例如

至于那个999999，是这样得来的

我在“正文开始前”推导球体表面积公式的时候就指出了1和

没有差别，事实果真如此，就我这一篇小小的科普文也有挖坑和填坑的铺垫，厉害吧

！结果你们还是没有看到真正符合七夕节味道的东西.   作为“七夕特辑”，总不能就这样让你们失望而收束吧？好歹我也是母胎单身，最后理应再胡骚情一点有些七夕情调的东西.   那就以一首诗来结束本期科普吧——

【理数理】（这是一首古体诗）噫！理数理，理何理？何以为理？理又何理？理清无数艰奥题，犹昧几多烟火气.   不愿再理千万忆，曾经春梦终相离.   我挥向来又罢息，能将以太凝作泥.   幻灭而死死又生，孤将九九再相乘.   

呜呼天兮，哀哉地，太白有酒欲呼来，岑夫子应丹丘生.   我意抒愁而叙怅，人去但留一页风.   我只可，理数理；我惟能，数理理.   今众佳人共云雨，世道留我沐心雨.   千里来寻一青檐，惟有数理拒风雨.   

理承万物无数，数揽寰宇有理—— 我所爱也.