罗尔定理是什么？罗尔定理的推广！

重要的人越来越少，剩下的人越来越重要。

 

1 割线与切线——变化率割线是曲线的平均变化率：

切线的斜率是曲线的瞬时变化率：

2 位移—时间图像,s-t图像用物理中的位移——时间图像来理解割线与切线的意义，那么：割线——————平均变化率——————平均速度切线——————瞬时变化率——————瞬时速度

3 罗尔中值定理如果函数f(x)满足以下条件， (1)在闭区间［a,b］上连续(2)在(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)，则至少存在一个 

 ,使

4 拉格朗日中值定理如果函数f(x)满足以下条件，(1)在闭区间［a,b］上连续 (2)在(a,b)内可导(3)那么存在一点 

 ,使等式

 成立

5 柯西中值定理如果函数f(x)与g(x)满足以下条件，(1)在闭区间［a,b］上连续(2)在(a,b)内可导(3)对任意 

 则在(a,b)内至少存在一点  ,使

6 以跑步为模型来考虑三者关系先来讲讲三者都有的条件：在［a,b］连续，在(a,b)可导。对应跑步就是 禁止使用瞬移，禁止瞬时速度突变

将上图中罗尔中值定理的图形变为s-t的图

可以抽取这样一个模型，罗尔中值定理我将它理解为在做往返跑

看一下s-t图

我们可以看到，f(a)=f(b)那么在(a,b)间一定有转向的点，在这点的导数值为0罗尔发现了往返跑时，一定有某时间点瞬时速度为0拉格朗日发现,往返跑时，一定存在一点瞬时速度为0，而平均速度也为0往返跑时某时刻瞬时速度等于平均速度。

。那么平均速度不为0，也能满足这样的结论吗？拉格朗日中值定理模型————百米跑

s-t图

拉格朗日发现在跑步时，一定存在一个时间点，该点的瞬时速度等于平均速度。

柯西将研究从一个人跑步拓展到了两个人跑步。他使用了模型——定时跑两个人同时出发，延直线跑1分钟。他发现拉格朗日中值定理其实是这样的

为什么乙要匀速跑啊，跑步都不能自由的想跑就跑了吗？然后就变成了这样

甲乙两人平均速度如果不同呢？

s-t图

柯西证明了存在这样的点，使甲乙瞬时速度之比等于平均速度之比瞬时速度之比: 

平均速度之比: 

所以得到 

7 三者的关系罗尔发现了在往返跑时，一定有一点瞬时速度为0拉格朗日对罗尔说：“兄弟，你说的情况太特殊了，不用做往返跑，某一点的瞬时速度一定等于平均速度”柯西对拉格朗日说:"兄弟，你说的情况太特殊了，两个人跑同样的时间，平均速度相同，他们在某一点的速度一定相同。

我还可以更近一步，平均速度不同，也有一点，瞬时速度的比值等于平均速度的比值"他们的关系就在于"兄弟，你说的情况太特殊了"，有这么一个说法：拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形。