等差数列(等差数列前n项和公式)这都可以？

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相关必读文：4.2.2等差数列的前n项和公式 第1课时（2019版新教材）4.2.2等差数列的前n项和公式 第2课时（2019版新教材）第一课时教学设计Ⅰ、教学目标：教学目标：了解等差数列的前n项和公式的推导方法和原理；从方程的角度认识等差数列的前

n项和公式的应用，会结合等差数列的通项公式，求解等差数列中的相关量.Ⅱ、教学重点难点教学重点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.教学难点：等差数列的前n项和公式的推导及应用.Ⅲ、教学过程一、数学史引入

教师介绍高斯的故事.问题1  计算1＋2＋3＋…＋100的值.意图：引出高斯首尾配对的方法.追问：为什么1＋100＝2＋99＝…＝50＋51呢？这是巧合吗？试从数列角度给出解释.意图：探究高斯方法简化运算的本质原因，即通过等差数列的性质，将不同数求和问题转化为相同数求和的问题，从而用乘法运算简化了求和运算.

二、层层递进，推导公式问题2  你能用上述方法计算1＋2＋3＋… ＋101吗？意图：为后续研究一般性问题时对项数奇偶进行讨论的方法做铺垫.预案：1＋2＋3＋… ＋101＝(1＋101)＋(2＋100)＋…＋(50＋52)＋51

＝102×50＋51＝5151追问：你还能想到其他方法吗？预案1：1＋2＋3＋… ＋101＝(1＋2＋3＋… ＋100) ＋101＝5050＋101＝5151预案2：1＋2＋3＋… ＋101＝0＋1＋2＋3＋… ＋101

＝(0＋101)＋(1＋100)＋…＋(51＋52)＝101×51＝5151问题3  计算1＋2＋3＋… ＋n.意图：这个问题既是问题1和问题2的推广，又是等差数列的一个特殊情形，为进一步解决一般等差数列的求和问题做铺垫；

       同时，在对项数分奇偶讨论之后，学生会发现结论的一致性，这可以引发进一步的思考，从而发现倒序求和的方法；此外，这个问题又是一个常用的结论，对于公式（2）的推导也可以用到这个结论.追问：不分类讨论能否得到最终的结论呢？

意图：引导学生将公式变形，通过变形之后的等式的意义，构造对应的计算方法，得到倒序求和的方法.追问：你能说说这种方法巧妙在哪里吗？意图：总结倒序求和的方法.活动：引导学生从几何上体会倒序求和的方法.

问题4  倒序求和的方法能否用于求一般等差数列{an}的前n项和Sn呢？意图：应用倒序求和的方法求一般等差数列的前n项和，得到公式（1）.三、公式(1)的理解和简单应用1. 功能一：已知，n，a1和an

，求Sn.追问：你能用文字语言表述这个公式吗？意图：由文字语言的表述，提炼利用公式（1）求等差数列的前n项和所需要的条件，即a1，an和n.练习：在等差数列{an}中，a1＝7，a50＝101，求S50

.2. 功能二：已知Sn，n，a1和an中任意3个，求第4个. 3. 变形理解：等差数列前n项的平均值等于首项与第n项的平均值.四、公式(2)的推导与应用问题5  能不能用a1和d来表示Sn呢？意图：希望学生能够利用公式(1)和等差数列的通项公式推出公式(2).

追问：如果不利用公式(1)的结论，你还有其他方法得到公式(2)吗？意图：从数列前n项和的定义出发，将每一项用首项和公差表示，再分组求和.活动：类比公式(1)的应用，分析公式(2)的应用.意图：功能1：已知

a1，d和n，求Sn.      功能2：已知Sn，n，a1和d中任意3个，求第4个.练习：在等差数列{ an }中，a1＝

，d＝

，Sn＝－5，求n.活动：结合等差数列的通项公式，从方程组角度分析可以解决的问题，体会方程思想.五、综合应用例题  已知数列{an}是等差数列.（1）若a1＝－4，a8＝－18，求S10； （2）若S10

＝310，S20＝1220，求Sn.意图：体会首项和公差对等差数列的确定作用，总结解决等差数列问题的基本量法，并从方程角度理解确定一个等差数列所需的条件数.六、小结与课后作业活动：从知识、方法和思想层面小结本节课的收获.

活动：课后作业：1. 根据下列各题中的条件，求相应等差数列{ an }的前n项和Sn．   （1）a1＝5，an＝95，n＝10；   （2）a1＝100，d＝－2，n＝50；   （3）a1＝14.5，

d＝0.7，an＝32.2. 根据下列等差数列{ an }中的已知量，求相应的未知量．   （1）a1＝20，an＝54，Sn＝999，求d及n；   （2）d＝

，n＝37，Sn＝629，求a1及an.作者及授课教师:北京市第五中学王琦; 指导教师:北京市东城区教师研修中心雷晓莉 本设计配套课件：选择性必修·第二册全套课件本设计配套视频：选择性必修第二册全套 视频

第二课时教学设计Ⅰ、教学目标：教学目标：会将与等差数列前n项和相关的实际问题转化为数列问题；掌握等差数列求最大（小）值的方法；能用函数观点看待函数.Ⅱ、教学重点难点教学重点：等差数列前n项和的应用.教学难点：从函数角度的看待和研究等差数列前

n项和公式..Ⅲ、教学过程一、复习巩固问题1  你能说出推导等差数列前n项和公式的方法，并准确写出这两个公式吗？意图：复习公式，为应用公式做准备.二、用数列解决实际问题问题2  某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？ 

追问1：用数学方法解决实际问题的一般步骤是什么？意图：回忆数学建模步骤，为解决问题选好路径.追问2：已知等差数列的d，n，S20，如何求a1 ？三、等差数列前n项和最值问题问题3  已知等差数列{an}的前

n项和为Sn，若 a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.追问1：从S1到S4是递增的，为什么会递增呢？追问2：Sn会不会一直递增呢？

追问3：哪些项的和是Sn的最大值？追问4：哪些项是正数？意图：当n≥2时，由于an＝Sn－Sn－1，所以an就是由Sn－1到Sn的变化量，an的正负体现了Sn的增减，增减明确了，最大（小）值就找到了.追问5：找到最大（小）值的关键是分析

Sn的增减，你还有其他方法研究Sn的增减情况吗？四、从函数角度研究前n项和公式问题4  对于一般的等差数列，前n项和公式是否都具有关于n的二次函数的形式呢？

     (3)当d≠0时，Sn具有关于n的二次函数的形式.追问：公式3还有哪些特点？预案：(1)常数项为0； (2)具有

的结构； (3)二次项系数的2倍等于公差； (4)二次项系数与一次项系数之和等于首项.问题5  等差数列{an}满足S10＝310，S20＝1220，求Sn .意图：利用函数结构特征简化解题过程.问题6  如果数列{

an}的前n项和Sn＝An2＋Bn＋C，其中A，B，C为常数，那么这个数列具有怎样的性质？意图：利用信息技术得到猜想，再次证明.活动1：信息技术探寻规律.追问1：根据上述试验数据，你会得出怎样的猜想呢？

追问2：这个猜想是否正确？你能证明这个猜想吗？五、小结作业1.教师对本节课运用的知识、方法、数学思想进行总结.2.作业选自教材..作者及授课教师:北京市第五中学王琦; 指导教师:北京市东城区教师研修中心雷晓莉  

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