擦肩而过的意思(擦肩而过的意思是什么呢)奔走相告

也许本来就是两个世界的人，怎么可能以五百年前的回眸，换来今世的一次擦肩而过呢？

 

给小学生讲解数学问题的解决方法，我几乎不用方程原因有二：其一是，我一直觉得用方程解决问题属于直线思维，是懒人的方法，让孩子们过早接触方程，会限制他们思维能力的开发；其二是，方程作为一项解题工具，我实在不知道有啥好讲的，呵呵！。

不过，在很多孩子的催促下，我还是想到了一些可以讲解的方程知识，那就是关于联立方程组是否有解的几何解释很多孩子对数学之所以难以有深入的理解，一个重要的原因就是无法从直观上去理解抽象的数学问题说的通俗一点就是，他们看到代数问题不会联系到几何，看到几何问题也无法转为代数的角度去思考。

当然，在代数和几何之间可以做到思维的切换自如，是需要花费一些功夫的我在很多文章里示范过代数问题的几何解释，许多读者看完之后感觉非常直观，帮助了他们对很多问题有了不一样的认识和理解那么，今天我再从几何的角度来解释一下如何理解联立方程组是否有解这个问题。

先看一组联立方程：

我们将①×2－②，推出：0＝8－5＝3。说明该联立方程组不存在x和y同时满足①、②两式，于是我们可以得到该联立方程组“无解”。再看另一组联立方程：

我们将①×2－②，推出：方程①与方程②完全一样说明该联立方程组不存在固定的x和y同时满足①、②两式，于是我们可以得到该联立方程组有“无穷多解”这个时候估计很多同学会问：这不合常理啊，我们遇到的大部分联立方程组都是有解的！那么，在什么样的情况下，联立方程组是有解的呢？。

我们假设如下一般化的联立方程：

通常，我们都是用加减法来进行消元解方程组的。比如，为了消去y，我们可以①×d、②×b，得到：

将③－④得到：

用同样的方法，我们还可以得到：

因此，当满足下面的条件时：

联立方程组会存在唯一的解，即：

上面的解释对吗？对！但有么有什么可以补充呢？有。因为没有解释当出现下面这种情况时，联立方程组会如何？

大部分的数学教科书解释到这里基本就停止展开讨论了，这是不够严谨的处理，对充满求知欲的孩子而言也是不负责的。那么又该如何处理呢？现在，我们从几何的角度来解释这个问题。对①式进行变形得到：

在笛卡尔坐标系中，我们可以将这个等式表示为一条直线，即：

其中，-（a/b）叫做这条直线的“斜率”，s/b叫做这条直线在y轴上的“截距”。我们来分类讨论一下。（一）当a＝0∧b＝0∧s＝0时，有：

这说明，所有的（x,y）都能使得式子成立。因此，满足式子ax＋by＝s的图形是整个平面。（二）当a＝0∧b＝0∧s≠0时，有：

显而易见，任何（x,y）都无法满足上面的等式，也就是满足式子ax＋by＝s的图形不存在。假如以点的集合来看，这个图形就是空集。（三）当a＝0∧b≠0时，有：

因为b≠0，所以不管x是多少，y＝s/b都成立，而且是一条平行于x轴的直线，即水平直线。如下图所示：

（四）当a≠0∧b＝0时，有：

因为a≠0，所以不管y是多少，x＝s/a都成立，而且是一条平行于y轴的直线，即铅垂线。如下图所示：

（五）当a≠0∧b≠0时，有：

因此，满足式子ax＋by＝s的图形是一条斜率为-（a/b），y轴截距为s/b的直线。这条直线既不是水平的，也不是铅直的，而是一条倾斜的直线。如下图所示：

讨论完了所有的情况，我们再回头来看联立方程组。现在，重点来了，我们把①式和②式的五种情况同时放在一个表格里来看：

我们仔细观察上面的表格可以发现，标为红颜色的“一点”，其实就是ad﹣bc≠0的几种情况但细心的你肯定已经观察到了，表格里还有一个问号，代表“倾斜直线与倾斜直线”的交集根据条件，我们可以得到一个等式：

这个等式代表什么呢？回顾我们的联立方程组：

我们发现，经过变化可以得到：

我们看到，这就代表着两条直线的斜率相等啊！也就是说，ad－bc＝0代表了两条直线斜率相等，也就是说这两条直线是平行的，它们的交集就是空集；而ad－bc≠0代表两条直线斜率不相等，所以它们最终会相交于一点，即联立方程组有唯一解。

以最开始的联立方程组为例：

这两个方程，分别代表着两条直线，在笛卡尔坐标系中就是：

讲完这个的时候，我脱口而出：“也许本来就是两个世界的人，怎么可能以五百年前的回眸，换来今世的一次擦肩而过呢？”只见很多学生在下面窃笑！

五百年前的回眸要换来今世的一次擦肩而过，这可不是一件容易的事情哦！祝大家学习快乐！