弦切角定理(弦切角定理的证明)全程干货

一、什么叫弦切角弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：AB是⊙O的切线，A是

一、什么叫弦切角弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：AB是⊙O的切线，A是切点，AC是⊙O的一条弦，则∠CAB为一个弦切角。

二、弦切角有哪些性质（一）弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。弦切角定理的证明已知：AB是⊙O的切线，切点为A，AC为⊙O的弦，∠P为弧AC所对的圆周角求证：∠1=∠P

证明：延长AO交⊙O于点P1，则AP1是⊙O的直径∴∠ACP1=90，∴∠2+∠P1=90°又AB切⊙O于点A，则∠1+∠2=90°∴∠1=∠2又∠P与∠P1均为弧AC所对的圆周角∴∠P=∠P1∴∠1=∠P

特征识别点：①顶点在圆上；②一条边与圆周角相交，另一条边与圆相切，切点在圆周上；③弦切角的大小等于它所夹的弧所对的圆周角的大小推论1：弦切角等于它所夹的弧所对的圆心角的一半推论2：两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

（二）弦切角定理的逆定理弦切角定理的逆定理：如图，在ΔABC的外作∠PAB=∠BCA，求证：PA是ΔABC的外接圆的切线.

证明：如图所示，作点A的直径AD，连接DB，则∠DBA=90°，∠D=∠C=∠PAB，所以∠PAD=∠DAB+∠PAB=∠DAB+∠D=90°.所以PA切⊙O于点A.这个逆定理为证明直线与圆相切提供了一种新的方法

.例题：如图，在ΔABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于点M，作MN⊥AC于N，求证：MN为圆的切线.

证明：因为AB=AC,∴∠B=∠C，又AB是⊙O的直径，∠AMB=90°，∴∠AMN+∠NMC=90°，又MN⊥AC，∴∠NMC+∠C=90°，所以∠AMN=∠C=∠B，于是根据弦切角定理的逆定理得出MN

是圆的切线学习了弦切角定理和逆定理后，平时有很题目会简单很多哦，试试吧练习1、（九上《全效学习》课时作业本P35第1题）如图，在⊙O中，AB为直径，BC为弦，CD为切线，连接OC，若∠BCD=50°，则∠AOC的度数为（   ）。

A.40°    B.50°   C.80°   D.100°2、（九上《全效学习》课时作业本P35第3题）如图所示，ΔABC是⊙O的内接三角形，下列选项中，能使过点A的直线EF与⊙O相切于点A的条件是（   ）

A.∠EAB=∠C  B.∠B=90°C.EF⊥AC  D.AC是⊙O的直径3、如图，已知PA与圆O相切于点A，直径BC⊥OP，线段OP与圆O交于点E，连接AB交PO于点D求证：∠PAD=∠ACB.

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