行列式的计算方法(行列式的计算方法2*2)新鲜出炉

最后一战，行动代号：海王

 

行列式的基本概念行列式（determinant）是线性代数（及其他学科）中有力的分析工具，同时也蕴含着矩阵、向量等学科的深邃本质行列式记作det(A)、det A 或者 |A|，其中，A 代表一个 n*n 的矩阵（也称方阵）。

如果更详细地表达矩阵 A 中元素，行列式的表达如式（3-1）所示

（3-1）其中，aij∈ R, 1 <= i,j <= n。行列式实际上是矩阵A 的一个计算。对于 2*2 行列式，其计算的定义比较简单，如式（3-2）所示。

（3-2）式（3-2）中，det(A) = a11a22- a12a21对于n > 2 的矩阵，它的行列式有两种定义——这两种定义的结果是相等的，只是表达方法（或者算法）不同——下面我们就分别讲述这两种定义。

1.1 定义一：递归式定义行列式在定义行列式之前，我们先定义个概念：剩余矩阵，如图3-1所示。

图3-１ 剩余矩阵示意图3-1-1，是一个 4*4 矩阵图3-1-2，任意选中一个元素，比如是 a23，此时将第2行、第3列的元素删除，则得到图3-1-3 的一个3*3 矩阵类似图3-1，则有剩余矩阵的定义。

剩余矩阵：m*n 矩阵 A，对于其中任一元素 aij（1 <= i <= m, 1 <= j <= n），相应地删除第 i 行及第 j 列的所有元素，剩余元素保持相对位置不变而得到矩阵，记为 Aij，A

ij称为A 的剩余矩阵。基于剩余矩阵的概念，我们首先定义3*3 矩阵的行列式，如图3-2所示。

图3-２ 3*3行列式定义图3-2是一个3*3矩阵，记为 A图3-2-1是 A 的剩余矩阵 A11，图3-2-2是 A 的剩余矩阵 A12，图3-2-3是 A 的剩余矩阵 A13则3*3矩阵 A 的行列式的定义为式（3-3）所示。

det(A) = a11*det(A11) - a12*det(A12) + a13*det(A13)（3-3）式（3-3）中有正号（+）也有负号（-），它的取值原则是（-1）i+j，也即式（3-3）可以表达为式（3-4）所示。

（3-4）可以看到，式（3-4）是一个基于 2*2 矩阵行列式定义的递归定义。更一般地，对于n*n 矩阵 A（n > 2），其行列式的定义为式（3-5）所示。

（3-5）为了简化描述式（3-5），我们给出一个定义：余因子，如式（3-6）所示Cij= (-1)i+j*det(Aij)（3-6）式（3-6）中，Cij称为A 的 (i,j) 余因子那么，基于余因子，式（。

3-5）可以简化描述为式（3-7）所示。

（3-7）实际上，行列式不仅可以按照第1行递归，它也可以按照任意一行递归，也可以按照任意一列递归，无论按照哪种方式递归，其最终计算所得的值是相等的（证明从略）假设按照第i 行进行递归，则矩阵 A 的行列式为：。

det(A) = ai1*Ci1+ ... + ain*Cin假设按照第j 列进行递归，则矩阵 A 的行列式为：det(A) = a1j*C1j+ ... + anj*Cnj1.2 定义2：全排列法定义行列式

行列式还有第2种定义方法：全排列法定义行列式不过，为了讲述这个定义，须先介绍两个概念：全排列、逆序数1.2.1 全排列从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素，按照所有可能的顺序排列起来，叫做从n个不同元素中取出。

m个元素的一个排列当m=n时所有的排列情况叫全排列（Full Permutation）比如数字“1、2、3”，其全排列为：123、132、213、231、312、321根据定义，n 个元素的全排列的排列数为 n!（n 的阶乘）。

1.2.2 逆序数在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数（Inversion Number）一个排列的逆序数的计算方法，就是从该排列的第。

1个数开始往前数，遇到1个比它大的数，逆序数就加1比如5,4,6,3,1,2的逆序数计算方法，如表3-1所示表3-1 一个排列逆序数的计算数字数字前方大于该数字的数字数字前方大于该数字的数字的个数5无0

4516无035,4,6315,4,6,3425,4,6,34合计——121.2.3 行列式的定义一个n*n 矩阵 A 的行列式定义为式（3-8）所示。

（3-8）其中，j1j2...jn是1,2,...,n 的一个排列Γ(j1j2...jn) 是排列 j1j2...jn的逆序数∑是对1,2,...,n 的全排列进行求和为了对式（3-8）有更加直观的理解，我们看一个例子。

例1：求解矩阵 A 的行列式，A 如式（3-9）所示。

（3-9）解：A 是一个 4*4 矩阵，所以，关于“1234”的全排列有：1234,1243,1324,1342,1423,...，这些排列的逆序数，如表3-2所示表3-2 “1234”全排列的逆序数排列

逆序数排列逆序数排列逆序数12340231423412412431234133421513241241334123313422243144132314232312424213414323314234231

5213413214343125214323241443216所以，det(A) = (-1)0a11a22a33a44+ (-1)1a11a22a34a43+ (-1)1a11a23a32a44+ (-1)

2a11a23a34a42+ (-1)2a11a24a32a43+ (-1)3a11a24a33a42+ (-1)1a12a21a33a44+ (-1)2a12a21a34a43+ (-1)2a12a2

3a31a44+ (-1)3a12a23a34a41+ (-1)3a12a24a31a43+ (-1)4a12a24a33a41+ (-1)2a13a21a32a44+ (-1)3a13a21a34a4

2+ (-1)3a13a22a31a44+ (-1)4a13a22a34a41+ (-1)4a13a24a31a42+ (-1)5a13a24a32a41+ (-1)3a14a21a32a43+ (-1)

3a14a21a33a42+ (-1)4a14a22a31a43+ (-1)5a14a22a33a41+ (-1)5a14a23a31a42+ (-1)6a14a23a32a41= a11a22a33a

44- a11a22a34a43- a11a23a32a44+ a11a23a34a42+ a11a24a32a43- a11a24a33a42- a12a21a33a44+ a12a21a34a43+ a

12a23a31a44- a12a23a34a41- a12a24a31a43+ a12a24a33a41+ a13a21a32a44- a13a21a34a42- a13a22a31a44+ a13a

22a34a41+ a13a24a31a42- a13a24a32a41- a14a21a32a43- a14a21a33a42+ a14a22a31a43- a14a22a33a41- a14a23a

31a42+ a14a23a32a41

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（5月底上市）