什么叫自然数(什么叫自然数集包括哪些)一看就会

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最美的公式：你也能懂的麦克斯韦方程组（积分篇）这，就是数学文章来源于数学元年，作者张影什么是自然数？自然数是人们数数得到的那些数：一、二、三、自然数是抽象的概念，不过它在人类文明的早期就被认识了直到今天，儿童在学校里最先学的仍然是自然数。

历史上，自然数是从 开始的；不过近些年，主要为了逻辑学和计算机科学的习惯，倾向于规定自然数从 开始特别地，我国现行的中小学课本规定自然数从 开始当然，是否从 开始，并不影响自然数的本质属性用十进制来表示，自然数的序列是

当然，这个序列可以无限地延续下去关于自然数，最常听到的问题也许是：为什么 ?怎样证明 ?其实，公式 不过是自然数的加法的规定罢了本文介绍自然数的公理化定义及其基本运算的严格的数学原理，包括加法、乘法、有条件的减法、除法，以及带余数的除法的定义，及相关的运算律的数学证明。

尽管不会出现在通常的课本和学习资料中，这些内容对于各个阶段的学习者都是重要的，也是真正需要了解和掌握的这里的介绍只是最基本的，有兴趣的读者可以进一步探讨(一)在小学教学中怎么处理自然数及其加减乘除运算是在小学阶段讲授的。

这就涉及到适当的教学处理的问题通过画图解释，利用直观，使学生更容易理解在教学中，自然数的加法是完全直观地定义的：把表示自然数 的两组物品合成一组，数数得到加法的结果 .当然这留下了逻辑上的隐患——怎么数？谁来数？怎么知道数的结果是对的？。

自然数的乘法是作为一些相同的数相加的“简便算法”来定义的定义完成之后，最重要的就是给出涉及加法和乘法的各种运算律，主要包括加法结合律、交换律，乘法对于加法的分配律，以及乘法结合律、交换律加法结合律公式：。

加法交换律公式：乘法对于加法的分配律公式：乘法交换律公式：乘法结合律公式：为了说明乘法交换律，可以用两种方式数出长方形点阵中的点的数目的方法。例如说明 的点阵图为

为了说明乘法结合律，可以用两种方式数出长方体点阵的点的数目的方法。为了说明分配律，可以对长方形点阵进行分割计数。例如说明 的点阵为

尽管直观的处理更容易理解，但是严格的数学定义和证明恰好能够给出更深刻也更本质的理解这也正是本文的写作初衷(二)自然数的皮亚诺公理在逻辑学意义上理解自然数，在19世纪变得迫切了，人们需要为自然数建立严格的逻辑基础。

在此前其他数学家(包括Grassmann, Peirce, Dedekind)的想法的基础上，1889年意大利数学家、逻辑学家、语言学家朱塞佩·皮亚诺 (Giuseppe Peano, 1858-1932) 在著作中提出了自然数的公理体系，称为皮亚诺公理体系。

皮亚诺公理体系获得了广泛接受，并沿用至今。

皮亚诺论自然数公理的著作正文第一页我们将看到，这个定义所给出的是全体自然数，而不是单个的自然数特别地，在自然数的定义中不涉及自然数的运算；而自然数的运算是后续定义的自然数的皮亚诺公理体系由两部分组成：三个原始术语，以及五条公理。

I. 原始术语：数，密接，零这些原始术语并不需要说明其具体意义，可直接使用五条公理的大意是：全体自然数恰好就是从“零”开始的不间断不重复的一串“数”，其中每个数有唯一的“密接”，而且除了零以外，每个数是唯一数的密接。

II. 自然数的皮亚诺公理：公理 1.零是数公理 2.每个数有唯一的密接，也是数公理 3.不同的数的密接不同公理 4.零不是任何数的密接公理 5.设有一族数，满足：(a) 它包含 ; (b) 只要它包含某个数，就包含这个数的密接。

那么这族数包含所有数这里的公理 5 也称为数学归纳法公理(或数学归纳法原理)数学归纳法是自然数的公理化定义自动带给我们的一款强大的数学工具，在数学研究中屡屡展示出威力特别地，自然数的运算的定义及运算律的证明都是通过数学归纳法来完成的。

在数学中使用数学归纳法公理的一种的常见场景：设对应于每个自然数有一个命题已知对应于自然数 的命题成立，而且对应于一个自然数的命题成立推出对应于这个数的密接的命题也成立则对应于每个自然数的命题都成立为了能够使用数学归纳法，需要明确地构造出对应于每个自然数的命题。

命题(非零则密接)每个自然数，或者等于 , 或者是某个自然数的密接证明留作练习(三)自然数加法的定义我们需要对于所有可能的有次序的自然数对 定义它们相加的结果(也是自然数) .定义(自然数的加法)利用皮亚诺公理，

自然数的加法通过如下的递归方式定义(a) 首先，对于任何自然数 , 规定 .接下来，规定 等于 的密接记号：从现在开始，自然数 的密接就用 来表示(b) 假设已经对于所有自然数 及特定自然数 , 定义了 .。

现在定义为 的密接，也就是根据数学归纳法原理，这样就对于所有可能的有次序的自然数对 定义了 .注意：按照以上的定义， 代表把 加到 上去的结果说法：这里 称为被加数， 称为加数， 称为 与 的。

和表达式 读作 加上 .例如：按定义， 等于 的密接，记作 ; 等于 的密接，记作 ; 等于 的密接，记作 ;(四)加法的运算律接下来证明加法的结合律及交换律运算律涉及所有自然数的性质，需要利用数学归纳法公理来证明。

命题(加法结合律)等式对于所有自然数 成立证明：对应于自然数 的命题 设为：等式 对于所有自然数 成立我们使用数学归纳法证明命题 对于所有自然数 成立首先，验证命题 成立，即等式对于所有自然数 成立。

按加法的定义，有因此命题 成立现在归纳地假设：对于某个自然数 , 命题 成立，即等式对于所有自然数 成立需要证明命题 成立，即等式对于所有自然数 成立一方面，另一方面，利用归纳假设，得到等式根据数学归纳法，对于所有自然数 , 命题 成立，即结合律公式成立。

为证明加法交换律，我们建立两个预备命题加法命题零(零加自然数)等式对于所有自然数 成立证明：对于自然数 使用数学归纳法首先，验证命题对于 成立，即 .根据定义，这个等式成立归纳地假设命题对于某个自然数 成立，即 .。

需要证明命题对于自然数 成立，即一方面，根据加法的定义及归纳假设，.另一方面，根据加法的定义，因此有 根据数学归纳法，等式 对于所有自然数 成立加法命题一(一加自然数)等式对于所有自然数 成立证明与前一预备命题类似(留作练习)。

命题(加法交换律)等式对于所有自然数 成立证明：对于自然数 使用数学归纳法首先，验证命题对于 成立，即 对所有自然数 成立根据加法命题零，可知这个等式成立：归纳地假设：对于某个自然数 , 等式。

对于所有自然数 成立现在需要证明等式对于所有自然数 成立一方面，根据定义，另一方面，根据结合律及加法命题一，根据归纳假设，对于所有自然数 , 等式 成立根据数学归纳法，等式 对于所有自然数 成立。

不全为零的两自然数相加的结果非零命题(不全为零则和非零)设 为自然数则 , 或 .证明留作练习自然数的加法满足消去律命题(加法的消去律)设 为自然数，满足 . 则 .证明留作练习(五)自然数乘法的定义。

关于自然数的乘法，小学课本一般采用的直观定义是：乘法是加法的简便算法——“一些相同的数相加，用乘法”利用加法，可以用递归的方式严格地定义乘法；即便如此，乘法是独立的运算，并不能认为是加法的简便运算定义(

自然数的乘法)利用加法，我们递归地定义自然数的乘法如下(a) 对于任何自然数 , 定义 .(b) 假设已经对于任何自然数 及特定的自然数 , 定义了 . 进一步定义根据数学归纳法原理，这样就对于所有可能的有次序的自然数对 定义了 .。

注意：按照以上的定义， 代表 个 相加的结果说法：这里 称为被乘数， 称为乘数， 称为 与 的乘积表达式 读作 乘以 .命题(非零自然数的乘积非零)设 为非零自然数则 .证明：因为 , 所以存在自然数 使得 .。

按定义，因为 , 所以 .(六)乘法的运算律自然数乘法的定义方式使得证明分配律更容易我们依次证明分配律、结合律、交换律命题(左分配律)等式对于所有自然数 成立证明：对自然数 使用数学归纳法首先，验证等式

对于所有自然数 成立这个等式成立，因为按乘法的定义：归纳地假设：对于某个自然数 , 等式对于所有自然数 成立需要证明等式对于所有自然数 成立一方面，按定义，另一方面，利用归纳假设得到，前面关于 的等式成立。

根据数学归纳法可知，左分配律等式成立命题(右分配律)等式对于所有自然数 成立证明与左分配律的证明类似(留作练习)现在证明乘法结合律命题(乘法结合律)等式对于所有自然数 成立证明：对于自然数 使用数学归纳法。

首先，当 , 乘法结合律等式成立，这是因为归纳地假设：对于某个自然数 , 等式所有自然数 成立现在需要证明等式对于所有自然数 成立一方面，根据乘法的定义，另一方面，根据乘法的定义及右分配律，利用归纳假设可知，等式。

对于所有自然数 成立根据数学归纳法可知，乘法结合律等式成立为了证明乘法交换律，需要如下两个预备命题乘法命题零(零乘以自然数)等式 对于所有自然数 成立证明：对自然数 使用数学归纳法当 , 按定义，有 .。

归纳地假设：对于某个自然数 , 等式 成立需要证明等式 成立根据乘法的定义及归纳假设，这就证明了等式 成立根据数学归纳法，等式 对于所有自然数 成立乘法命题一(一乘以自然数)等式 对于所有自然数 成立。

证明方法与前一命题类似(留作练习)最后证明乘法交换律命题(乘法交换律)等式对于所有自然数 成立证明：对自然数 使用数学归纳法首先，验证等式 对于所有自然数 成立这个等式成立，因为：一方面，按定义，;。

另一方面，根据乘法命题零，.归纳地假设：对于某个自然数 , 等式对于所有自然数 成立需要证明等式对于所有自然数 成立一方面，按定义，另一方面，由左分配律及乘法命题一，有根据归纳假设可知，等式 对于所有自然数 成立。

根据数学归纳法，对于所有自然数 , 交换律等式 成立此外，还有如下的乘法消去律命题(乘法的消去律)如果非零自然数 及自然数 满足 , 那么 .证明留作练习注意： 不能推出 .(七)自然数比较大小我们现在定义自然的大小关系。

定义(自然数大于自然数)设 是自然数称 大于 , 记作 , 如果存在非零自然数 , 使得 .说法(自然数小于自然数)如果自然数 大于自然数 , 我们也说 小于 , 记作.命题(非零则大于零)非零自然数大于 .。

证明：设 是自然数，且 .已经知道 . 按定义，0" data-formula-type="inline-equation" style="">.命题(大小关系的传递性)设自然数 满足 b" data-formula-type="inline-equation" style="">

及 c" data-formula-type="inline-equation" style="">. 则有 c" data-formula-type="inline-equation" style="">

.证明：因为 b" data-formula-type="inline-equation" style="">, 所以存在非零自然数 , 使得 .因为 c" data-formula-type="inline-equation" style="">

, 所以存在非零自然数 , 使得 .则有由前面的命题知道 .按定义，c" data-formula-type="inline-equation" style="">.命题(不等式加等式)设 为自然数，满足

b" data-formula-type="inline-equation" style="">. 则有 b+c" data-formula-type="inline-equation" style="">

.证明：因为 b" data-formula-type="inline-equation" style="">, 所以存在非零自然数 , 使得 .由此得到 .按定义， b+c" data-formula-type="inline-equation" style="">

.命题(同向的不等式相加)设 为自然数，满足 b" data-formula-type="inline-equation" style="">, d" data-formula-type="inline-equation" style="">

. 则有 b+d" data-formula-type="inline-equation" style="">.证明：根据不等式加等式的性质，有b+c, " data-formula-type="inline-equation" style="">

b+d. " data-formula-type="inline-equation" style="">再根据传递性，得到 b+d" data-formula-type="inline-equation" style="">

.命题(大小关系唯一)设 为自然数则三种情形,n" data-formula-type="inline-equation" style="">,m" data-formula-type="inline-equation" style="">。

当中最多一种成立证明留作练习命题(大小关系存在)设 为自然数则或者 , 或者 , 或者 .证明：对应于自然数 , 令命题 为：“对于任何自然数 , 或者 , 或者 n" data-formula-type="inline-equation" style="">。

, 或者 m" data-formula-type="inline-equation" style="">”.则所要证明的命题等价于“命题 对于所有自然数 成立”首先验证命题 成立，即“对于任何自然数 , 或者 , 或者 。

0" data-formula-type="inline-equation" style="">, 或者 m" data-formula-type="inline-equation" style="">

”.这显然是成立的：如果 不成立，则有 0" data-formula-type="inline-equation" style="">.现在归纳地假设命题 成立需要验证命题 成立，即“对于任何自然数 , 或者 , 或者 。

n+1" data-formula-type="inline-equation" style="">, 或者 m" data-formula-type="inline-equation" style="">

”.情形1. .此时 . 按定义，m" data-formula-type="inline-equation" style="">.情形2. m" data-formula-type="inline-equation" style="">

.此时 m+1>m" data-formula-type="inline-equation" style="">. 故 m" data-formula-type="inline-equation" style="">

.情形3. n" data-formula-type="inline-equation" style="">.则存在非零自然数 ,  使得 .情形3.1. .此时 .情形3.2. , 为非零自然数此时 . 按定义，

n+1" data-formula-type="inline-equation" style="">.这就验证了命题 成立根据数学归纳法，命题 对于所有自然数 成立命题(不等式乘以非零自然数)设 为自然数，满足 。

b" data-formula-type="inline-equation" style=""> 及 . 则有 b\times c" data-formula-type="inline-equation" style="">

.证明：因为 b" data-formula-type="inline-equation" style="">, 存在非零自然数 使得 . 则有因为 , 按定义， b\times c" data-formula-type="inline-equation" style="">

.下面的命题说明，任何一些自然数当中，必有最小元素命题(良序性质)自然数的任何非空子集有最小元素证明留作练习(八)自然数的减法减法是加法的逆运算定义(自然数的减法)如果自然数 满足 , 就说 减去 等于 , 记作。

说法：这里 称为被减数， 称为减数， 称为 与 的差表达式 读作“ 减去 ”.注意：自然数的减法 有意义的条件是 (即 或 b" data-formula-type="inline-equation" style="">。

).命题：如果自然数 满足 , 那么 .证明：因为 , 按照定义，.练习：证明对于所有自然数 , 有减法没有交换律，也没有结合律连续两次减法有如下运算律命题：如果自然数 满足 及 , 那么 , 且有。

证明：设 ,  而且 .那么 .因为 ,  而且 ,  所以按定义，.这样就证明了 .在相应的条件下，有反向的公式命题：如果自然数 满足 , 那么, , 且有证明留作练习(九)自然数的除法除法是乘法的逆运算。

定义(自然数的除法)如果非零自然数 满足 , 那么规定另外规定：对于任何非零自然数 ,说法：除法符号 读作“除以”表达式 当中， 称为被除数， 称为除数， 称为商练习：对于非零自然数 , 有命题：如果非零自然数 满足 , 那么 .

证明留作练习除法没有交换律，也没有结合律对于连续两次除法，有如下运算律命题：如果非零自然数 满足 是 的倍数，且 除以 所得的商是 的倍数，那么 是乘积 的倍数，且如下公式成立：证明：设 , 而且 . 那么

因为 ,  而且 ,  所以因此 .这就证明了 .在相应的条件下，也有反向的公式成立命题：如果非零自然数 满足 是 的倍数，那么 是 的倍数， 除以 所得的商是 的倍数，且有公式：证明留作练习。

(十)自然数的带余数除法下面的命题使得定义带余数的除法成为可能命题(带余数的除法)设自然数 . 任给自然数 , 存在唯一自然数 及唯一自然数 , 其中 , 使得证明：对于自然数 使用数学归纳法首先，对于 , 令 及 .

则有 .如果 或 , 则 .因此满足 (其中) 的 是唯一的归纳地假设：对于某个自然数 , 存在唯一自然数 及唯一自然数 , 其中 , 使得现在需要证明存在唯一自然数 及唯一自然数 , 其中 , 使得。

情形1. .此时 .从而 及 满足要求情形2. .此时从而 及 满足要求为了证明满足 的 及 的唯一性，只需证明不同的 及 给出不同的 及 (细节请读者补上), 与归纳假设矛盾这就证明了关于 的结论。

根据数学归纳法，命题的结论对所有自然数 成立定义(自然数的带余数减法)任给自然数 (其中), 存在唯一自然数 及唯一自然数 (其中) 满足定义带余数的除法这里自然数 和 分别称为 除以 所得的。

不完全商和余数带余数的除法自然地引向初等数论的美妙天地；不过这超出了本文的目标就此打住(十一)数的扩展之路我们介绍了自然数及其运算的数学原理，包括：自然数的皮亚诺公理；自然数的加法、乘法的递归定义；加法结合律、交换律的数学证明；分配律的数学证明；乘法结合律、乘法交换律的数学证明；自然数的有条件的减法、除法的定义；自然数的带余数的除法的定义。

其中还留下了一些内容请读者完成数的概念的持续扩展，包括：. 在自然数基础上，添加负整数，得到全体整数需要把加法、乘法、减法、有条件的除法、大小关系扩展到全体整数的范围；特别地，减法不再有限制. 在整数基础上，添加分数，得到全体。

有理数需要把加法、乘法、减法、除法(除数非零)、大小关系扩展到全体有理数的范围；特别地，除法不再有限制. 通过大小关系，填补有理数之间的所有“空隙”，得到全体实数需要把加法、乘法、减法、除法(除数非零)、大小关系扩展到全体有理数的范围；在实数范围内取极限将不再有限制。

但是在实数范围内负数没有平方根. 在实数基础上，添加 的平方根(记为 )，形成全体形如 (其中 是实数) 的复数需要把加法、乘法、减法、除法(除数非零)扩展到全体复数的范围(将失去大小关系)；特别地，复数为系数的一元代数方程在复数范围内有根。

. 此外，还有更多抽象的“数”，根据需要，可以失去乘法交换律，甚至结合律(十二)结束语德国数学家克隆奈克(Leopold Kronecker, 1823-1891)说：“上帝创造了自然数，此外都是人类的创作。

”自然数的公理化抓住了自然数的本质特征，是人类思想的结晶真正理解了自然数，您是否觉得——即便是自然数，实际上也是人类的创造1：本平台：妙解之慧（ID:WanZhuanShuXue1）由陕西西安孙冰钰老师创建专注分享初，高中数学优质资源，旨在：让全国各地的师生都能享受到同等优质的教育资源。

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